Re: verifica campo dipolare proiettato

From: Hypermars <hypermars00_at_yahoo.com>
Date: Thu, 26 Feb 2009 14:05:07 +0100

Bruno, ho rifatto i conti alla tua maniera (spezzando in sfera e
sfera-cilindro), e mi viene il -1/6 che ti accennavo.

Riassumo i conti in breve:

notazione:
R raggio della sfera di integrazione
2h altezza del cilindro di integrazione

assunzioni:
particella di forma arbitraria, magnetizzata lungo y, centrata
nell'origine, con massimo raggio di estensione <R


campo dipolare da integrare (se vuoi cgs basta che togli il mu0/(4pi)
davanti):

by(x,y,z)=mu0/(4pi) mu f(x,y,z)

f(x,y,z)=(2y^2-x^2-z^2)/(x^2+y^2+z^2)^(5/2)


\int_S by(x,y,z) = 2/3 mu0 mu (dal Jackson)

\int_(S-C) f(x,y,z) =

= 2 pi \int_R^h dz \int_0^R r dr (r^2-2 z^2)/(r^2+z^2)^(5/2)

+ 2 pi \int_0^R dz \int_R(z)^R r dr (r^2-2 z^2)/(r^2+z^2)^(5/2)

dove lavoro in polari nel piano (x,y) e ho gia' integrato in d\theta.
Nel 2 pi davanti c'e' il fattore due che viene dalla simmetria per z<0,
e un pi dall'integrazione in d\theta. R(z)=\sqrt{R^2-z^2}

Integro in dr:

\int_(S-C) f(x,y,z) =

- 2 pi \int_R^h dz R^2/(R^2+z^2)^(3/2)

+ 2 pi \int_0^R dz [1/R-z^2/R^3-R^2/(R^2+z^2)^(3/2)]


Integro in dz:

\int_(S-C) f(x,y,z) =

- 2 pi [h/sqrt(h^2+R^2)-1/sqrt(2)]

+ 2 pi [2/3-1/sqrt(2)]


Risultato finale:

\int_(S-C) f(x,y,z) = 2 pi [2/3 - h/sqrt(h^2+R^2)]

che implica

\int_(S-C) by(x,y,z) = 1/2 mu0 mu [2/3 - h/sqrt(h^2+R^2)]

ovvero, visto che ti e' piu' familiare il cgs,

\int_(S-C) by(x,y,z) = 2 pi mu [2/3 - h/sqrt(h^2+R^2)]


Nel limite h>>R, si ottiene

\int_(S-C) by(x,y,z) = -1/6 mu0 mu [SI]

\int_(S-C) by(x,y,z) = -2/3 pi mu [cgs]

Risultando quindi

\int_C by(x,y,z) = 2/3 mu0 mu -1/6 mu0 mu = 1/2 mu0 m [SI]

\int_C by(x,y,z) = 8/3 pi mu -2/3 pi mu = 2 pi m [cgs]


Non so dove sia l'errore nei tuoi conti, o se il problema sia in Fubini,
comunque 1/2 del momento e' il risultato corretto.

Bye
Hyper
Received on Thu Feb 26 2009 - 14:05:07 CET