Il 12 Feb 2009, 15:44, Hypermars <hypermars00_at_yahoo.com> ha scritto:
> Limitiamo sin dall'inizio l'analisi al campo esterno, ovvero prendiamo
> |*r*|>a, dove a e' il raggio massimo della particella.
>
> Eseguiamo ora la proiezione di B lungo z (l'integrale lungo z va da meno
> a piu' infinito):
>
> Bp(x,y)=B/(4\pi) \int d^3*r*' D(*r*') \int [3XY,3Y^2-R^2,3YZ]/R^5 dz
>
> Bp(x,y)=B/(2\pi) \int d^3*r*' D(*r*') [2XY,Y^2-X^2,0]/(X^2+Y^2)^2
>
> Poiche' la dipendenza da z' e' svanita nell'integrazione, rendiamo il
> tutto bidimensionale integrando anche su z':
Ed il risultato � cio�:
mu_0/4pi [(m.r)r - m r^2]/r^5.
che pu� essere ottenuto sia come rotore di un potenziale vettore che come
gradiente di un potenziale scalare: grazie al fatto che esternamente alla
sfera il rotore del campo si annulla. Comunque il momento magnetico rispetto
al momento elettrico rimane uno pseudovettore, ma rispetto a rotazioni le
leggi di trasformazione sono le stesse, si tratta cio� di un tensore sferico
di rango due contratto con un vettore a formare un tensore sferico di rango
1 . Ragione per cui applicando il teorema di Wigner Eckart � possibile
ricavare univocamente qualsiasi momento di multipolo elettrico o magnetico
per proiezione in armoniche sferiche. Per il termine di monopolo ottieni il
flusso del campo elettrico con il peso dato appunto da dS mentre per il
momento di dipolo ottieni una per una le tre componenti usando come peso (r
Y^1_x,y,z) dS . Ovvero la base di momento angolare uno del momento
magnetico. Qui citare Wigner Eckart � come usare l'elicottero per spostarsi
da un attico ad un altro evitando le scale, ma essenzialmente le scale non
sono complicate si tratta di sfruttare semplicemente la rappresentazione in
armoniche sferiche dei campi prodotti da un momento.
Per tutto il resto rimango perplesso. L'idea di collegare il momento
magnetico all'integrale del campo magnetico internamente alla regione
polarizzata mi sembra che possa funzionare ogni volta che per ragioni di
simmetria sia possibile stabilire che vige proporzionalit� fra i due. Per
esempio se il campo magnetico ed il momento di dipolo sono paralleli punto
per punto e proporzionali come nel caso della sfera. Oppure se la
proporzionalit� vige sulla componente integrata in una direzione in virt�
del fatto che le altre componenti si cancellano. L'idea di sostituire la
distribuzione di momenti con una distribuzione fittizia arbitraria per la
quale valga la regola che l'integrale del campo magnetico � proporzionale al
dipolo mi sembra un poco artificiosa, a meno che non celi una ragion pratica
che da qui non riesco a percepire.
> Bp(x,y)=B/(2\pi) \int dx'dy' [2XY,Y^2-X^2,0]/(X^2+Y^2)^2 \int D(r',z') dz'
>
> L'integrale della D(r',z') in dz' non e' altro che lo spessore di
> materiale magnetico incontrato mentre andiamo da meno a piu' infinito in
> z, che chiamiamo tp(r'). Esempio: per un cilindro, tp(r')=t, se r'<a, e
> =0 se r'>a. Per una sfera, tp(r')=\sqrt{a^2-r^2} per r'<a, e zero per
> r'>a. Per un cono, tp(r')=t (1-r'/a) per r'<a, e zero per r'>a. E cosi'
> via. Puo' essere qualsiasi cosa, basta che non dipenda da \theta.
>
> Quindi, passando in polari
>
> Bp(x,y)=B/(2\pi) \int_0^a r'dr' tp(r') \int d\theta'
> [2XY,Y^2-X^2,0]/(X^2+Y^2)^2
>
> Per effettuare l'integrazione in \theta', che appare non banale,
> sfruttiamo una espansione standard in multipoli del termine da integrare
> (qui si sfrutta la condizione r>a, per espandere opportunamente in
> potenze di r'/r), che mostra come l'integrazione in \theta' abbia un
> solo termine sopravvissuto: quello di dipolo. Risulta
>
> Bp(r>a)=B [\sin(2\theta),-\cos(2\theta),0]/r^2 \int_0^a r'dr' tp(r')
>
> Non rimane che eseguire l'ultima integrazione, che evidentemente
> restituisce il volume della particella diviso per (2\pi). Risultato:
>
> Bp(r>a)=BV/(2\pi) [\sin(2\theta),-\cos(2\theta),0]/r^2
>
> per qualsiasi particella magnetizzata con simmetria circolare come
> specificato. CVD.
>
> Il calcolo del risultato per la regione interna r<a non e' cosi'
> semplice, perche' dipende dalla forma (I vari multipoli non si annullano
> affatto dentro, come ci si puo' aspettare). Cilindro e sfera sono
> comunque calcolabili (forse anche il cono, non ho provato). Il cilindro
> e' semplicissimo:
>
> Bp_cyl(r<a)=BV/(2\pi) [0,1,0]/a^2
>
> mentre la sfera e' piu' noiosa da scrivere quindi concludo qui.
>
> Bruno, spero di aver soddisfatto degnamente la prima delle tue
> richieste. La seconda, la verifica dei tuoi calcoli, la rimando un po'
> ancora.
>
> Bye
> Hyper
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Received on Sat Feb 14 2009 - 01:57:54 CET