"Hypermars" <hypermars00_at_yahoo.com> wrote in message
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> Si vuole dare un senso a
>
> \int B(r) d^3r
>
> ovvero all'integrale esteso a tutto lo spazio del campo B (induzione
> magnetica) associata a una sfera magnetizzata uniformemente.
La risposta mi pare che debba essere la seguente (a parte il fatto che anche
io preferisco chiamare B con la parola campo). Non ho seguito tutto il
thread e mi scuso in anticipo se ripetero' cose gia' dette.
Intanto un qualsiasi integrale definito, quando ha un significato fisico, a
me pare che vada sempre valutato su un dominio limitato; stesso discorso per
una qualsiasi serie che, se ha senso fisico, viene valutata su un numero
finito di addendi.
Quando un integrale si valuta su un dominio illimitato si sottintende sempre
che le condizioni sono tali da far si' che sia trascurabile cio' che avviene
"lontano", quindi, per comodita' di calcolo, si valuta l'integrale su un
dominio illimitato tanto si sa che, se anche si prendesse il dominio
limitato ma "grande" il risultato sarebbe approssimativamente lo stesso.
Sta di fatto comunque che l'integrale definito di significato fisico va
valutato su un dominio limitato, poi, valutato l'integrale, si potra' vedere
cosa succede se il dominio va all'infinito in una qualche maniera (mandare
il dominio all'infinito in una qualche maniera corrispondera' ad un qualche
significato fisico che dipendera' dal problema in esame). E un integrale su
un dominio limitato puo' essere valutato usando coordinate polari o
cartesiane (o altre) e, ovviamente, si otterrebbe sempre lo stesso risultato
(discorso analogo per le serie che, se valutate su un numero finito di
addendi, daranno ovviamente sempre lo stesso risultato quale che sia
l'ordine degli addendi). Forse affinche' questo possa dirsi vero ci si
dovra' ridurre a funzioni integrande che non siano particolarmente
patologiche.
Nel caso della sfera uniformemente magnetizzata di raggio R, un dominio
interessante potrebbe essere un cilindro di raggio d>R e altezza 2h (h>R)
con il centro della sfera magnetizzata posto nel centro del cilindro e la
magnetizzazione parallela all'asse del cilindro.
Per simmetria l'unica componente non nulla dell'integrale sara' quella
parallela all'asse del cilindro all'interno del quale si integra.
Integrando tale componente fra -h e h, salvo errori, si ottiene la seguente
f(r):
f(r)=m*[(3/R^3) * Sqrt(R^2-r^2) - h/(h^2+r^2)^(3/2)]
per r<R
e
f(r) = - mh / (h^2+r^2)^(3/2)
per r>R
dove ho posto m=(4/3)*PI*R^3*M, cioe' m e' il momento di dipolo magnetico
associato alla sfera (M e' la magnetizzazione uniforme).
Ora, l'integrale della f(r) sul disco di raggio d>R da', sempre salvo
errori:
4*PI*m* h/Sqrt(d^2+h^2).
Si vede che, scegliendo opportunamente d e h si puo' ottenere un qualsiasi
risultato compreso fa 0 e 4*PI*m.
Se ben capisco da quanto dicevi su ism (5/2 alle ore 17.22 ... comunque ...
che gran simpaticone quel Jim!) tu ottieni la f(r) con questa olografia
elettronica, dopo di che non ho ben capito cosa vorresti evincere dai dati.
Se la risoluzione fosse tale da accorgersi del cambiamento di andamento
della f(r) fra r<R e r>R uno potrebbe ricavare informazioni sulle dimensioni
della sfera magnetizzata (pero', se ben capisco, tu dici che hai un cilindro
magnetizzato. Piu' o meno sara' la stessa cosa, ma bisognerebbe fare i
calcoli esatti per esserne certi, o magari un qualche teorema potra'
garantire che, in un qualche senso, sara' comunque la stessa cosa perche'
sviluppando in multipoli ecc ...).
L'informazione piu' banale che si potrebbe avere mi pare che sia quella che
si ha scegliendo h>>d cosi' dal valore dell'integrale di volume si puo'
ottenere il momento magnetico della sfera.
> Bye
> Hyper
Ciao.
--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
Received on Mon Feb 09 2009 - 21:56:03 CET