Re: Problema con radiazione di multipoli

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Mon, 08 Oct 2012 20:17:10 +0200

Elio Fabri ha usato la sua tastiera per scrivere :
> Tetis ha scritto:
>> Z0 cosa indica?
> L'impedenza caratteristica del vuoto, 1/(eps0 c) = mu0 c.
> Ovvero i famosi 377 ohm :)
>
>> Posso confermare che la media sul periodo � questa che ha scritto.
>> Oltre che con il calcolo diretto si trova con l'integrale necessario
>> gi� tabulato sul Gradshteyn, formula 3.681.
> Grazie della verifica.
>
>> Nel merito della questione non so che dire, non mi � chiaro al
>> momento come esplicitare le formule per i termini di multipolo
>> radiativo,
>> ...
>> in particolare le formule esatte (16.91 e 16.92 di Jackson) mi
>> sembrano difficili da gestire senza un particolare impegno dedicato

> Credo per� di aver fatto un passo avanti, prima d'immergermi nei conti.

Ho aspettato un poco a scrivere aspettando che magari dicessi di avere
fatto anche qualche conto comunque ho ritardato anche perch� avevo
altro da fare per il momento, ma ho letto con attenzione quello che hai
scritto ed ho confrontato con i testi alla mano.

> Le formule che citi mostrano che che non vanno usati i multipoli
> statici, dal momento che figurano integrali con funzioni sferiche di
> Bessel, che danno i multipoli statici solo all'ordine pi� basso in
> kA=b (beta).

Questo sviluppo in multipoli dinamici devo ammettere che non l'ho
digerito completamente, mi manca la percezione di quali sono gli
effetti di ritardo e quali sono gli effetti distribuzionali, ammesso
abbia qualche senso separarli, � a fra queste lacune che si collocano
le mie perplessit� sulle interferenze. Quello che mi sembrava di aver
capito � che gli effetti dinamici di velocit� finita devono essere
messi a mano, in qualche modo di cui al momento non ho alcuna idea,
nello sviluppo in multipoli statici, qualcosa di analogo alle
perturbazioni successive con cui ci si sposta dalle predizione della
equazione di Schroedinger alle corrette previsioni dell'equazione di
Dirac.

> E qui c'� un trabocchetto nel quale sembra sia cascato anche il
> Landau ... ma � possibile???

Ecco, questo non lo so, non mi � chiaro nemmeno il discorso di Landau
che in un primo momento sembra interessarsi dei momenti di ordine
superiore solo nel caso in cui quelli di ordine pi� basso mancano, ma
poi include la derivata seconda del momento di dipolo.

> Il termine di dipolo, definito dalla comparsa dell'armonica sferica
> Y_{1m}, fa intervenire una j_1(b), che ha termini in b, b^3, e succ.
> potenze dispari.
> Il termine di quadrupolo (Y_{2m}) porta un j_2 che ha termini in b^2,
> b^4, ecc.
> Perci� *nel calcolo dei campi*, se ci si ferma al secondo ordine,
> intervengono solo i termini in b nel dipolo e in b^2 nel quadrupolo,
> ossia i momenti statici.
> Ma quando vai a calcolare l'energia irraggiata, che � quadratica nei
> campi, � vero che essa sar� la somma del contributo di dipolo, di
> quello di quadrupolo, ecc. Ma vediamo gli ordini in b:
> - L'energia di dipolo ha un termine in b^2, ma poi anche un termine in
> b^4.
> - L'energia di quadrupolo comincia col termine in b^4, ecc.
> Perci�, anche se non c'� interferenza, succede che in b^2 conta solo
> il dipolo, ma in b^4 contano dipolo e quadrupolo, e via peggiornado per
> i multipoli superiori.
> Conclusione: nel calcolo dell'energia lo sviluppo in multipoli e lo
> sviluppo in potenze di b *sono cose diverse*.

Penso di avere inteso il discorso e mi sembra di trovarmi d'accordo, in
qualche modo mi sembra anche che questo semplice sviluppo in serie
delle funzioni di Bessel, dia le istruzioni dettagliate su come
computare gli effetti di "interferenza" dovuti al fatto di tener conto
della velocit� finita di propagazione come se si trattasse di una
perturbazione. Riducendo la velocit� della luce (cio� aumentando le
frequenze) la base delle funzioni statiche diagonalizza sempre peggio
le equazioni di Maxwell che diagonalizzava perfettamente nel limite
statico. In altre parole il problema � che la base dell'operatore di
Laplace non � una buona base per l'operatore di Helmoltz, o sto
scrivendo sciocchezze?

> Dicevo che ci casca anche Landau, perch� l'eq. (71.5) del vol. 2 dice
> proprio l'opposto: scrive l'energia irraggiata fino all'ordine b^4
> come somma di contributi dati dai momenti *statici*.
> Nota che una formula analoga sul Jackson *non c'�*...

Infatti, ma ho pi� di un dubbio perch� non mi riesce di capire bene il
significato dell'approssimazione di Jackson 16.93 16.95 e la
conseguente espressione 16.97. Cio� mi chiedo per l'appunto che fine
fanno nella 16.97 i termini di approssimazione dovuti a componenti di
Taylor di ordine superiore dovuti al dipolo. Se ho inteso quel che dici
tu li devo considerare come contributi di dipolo di ordine pi� alto e
non andarli a mischiare con i termini di quadrupolo anche se hanno lo
stesso ordine in beta. A ritroso il dubbio � sulla equazione 16.92 che
mi appare evidentemente non covariante. Cio� mi pare che gran parte
della confusione derivi dalla necessit� pratica di trattare con gli
strumenti concettuali dello spazio euclideo un fenomeno che vive in
spazio di Lorentz.


> Inutile dire che mi farebbe molto piacere una tua conferma a quanto
> sopra.
>
>> Un dubbio ulteriore che non riesco ad accantonare riguarda
>> l'interferenza: se � vero che le funzioni armoniche relative a
>> termini di multipolo differenti sono ortogonali, tuttavia nel
>> calcolare la potenza irradiata da un multipolo puro si suppone di
>> trattare un'onda incidente pressoch� monocromatica e delle
>> interferenze si tiene conto con il calcolo dei coefficienti di fase,
>> che in genere portano per esempio a riconoscere un "tempo di
>> scattering" nel gruppo. Nel caso di una sorgente che si muove ad una
>> data frequenza per� non so come procedere, forse mi sto solo
>> incartando in un quarto di coriandolo, ma ne scrivo perch� magari hai
>> un modo semplice per fugare questi dubbi, dato che dici di aver fatto
>> il conto.
> Se avessi capito il tuo dubbio...
> Perch� tiri in ballo lo scattering?
> Qui hai una sorgente in moto prestabilito (armonico nel mio caso).
> Puoi calcolare i campi o dai potenziali ritardati o da quelli di
> Lienard-Wiechert, separando i multipoli (Jackson docet).
> E poi calcoli l'energia emessa.
>
> Landau procede diversamente: scrive i pot. ritardati e sviluppa gli
> integrali in serie di r/c.
> E questo � il punto: questi non sono multipoli!

Received on Mon Oct 08 2012 - 20:17:10 CEST