Maurizio Malagoli ha scritto:
> Due osservabili A e B sono compatibili se e soltanto se sono funzioni
> di una terza osservabile T, ossia è possibile avere A=f(T) e B=g(T)
> [(riferimento "I FONDAMENTI DELLA TEORIA QUANTISTICA SECONDO VON
> NEUMANN" di Nisticò Giuseppe,
> https://www.mat.unical.it/~nistico/dispense/VonNeumann.pdf, cap.3)].
> Prendiamo il caso di funzione d'onda bidimensionale \psi(x,y) e le
> osservabili X e Y che commutano.
> Quale può essere una terza osservabile T per cui si X=f(T) e Y=g(T)?
Giorgio Bibbiani ha scritto:
> Si dimostra in matematica che gli insiemi R e R^2 sono equipotenti,
> cioè esiste h:R^2->R bigettiva,
> ...
Scusate il ritardo, ma ho diverse riserve su come state impostando il
discorso.
Per cominciare, sono andato a guardare le dispense di Nisticò.
La mia impressione è che sotto al linguaggio apparentemente rigoroso,
lascino alquanto a desiderare.
Spiegarmi non sarà cosa semplice, però...
A Giorgio osservo che la sua è stata anche la mia primissima idea, ma
poi ho cercato di assicurarmi che la cosa abbia senso.
Sono andato a cercare nell'unico libro che ho in materia:
"Some Modern Mathematics for Physicists and other Outsiders", di P.
Roman, dove ho trovato il teorema 13.46b(6):
"Given a self-adjoint operator A, one may define a linear operator
F(A) by eq. (13.36b), provided the (complex-valued) function F(l) is
finite a.e. and is measurabile with respect to the spectral family
E(l) of A. The domain D_F of F(A) is determined by eq. (13.36a). The
norm of F(A) is given by eq. (13.37)."
Non sono sicuro che Maurizio padroneggi i concetti impliciti, ma che
posso farci?
A Giorgio chiedo se secondo lui le funzioni che manda (secondo le sue
notazioni) T in X e T in Y soddisfano le ipotesi del teorema.
Io non saprei dirlo, né so se esistano versioni del teorema con
ipotesi più deboli.
Ma che cosa dice Nisticò? Leggo a pag. 7:
"Dall'assioma II e dalla definizione 3.1 segue che due osservabili
sono simultaneamente misurabili se i corrispondenti operatori A e B
sono funzioni di uno stesso operatore T."
L'assioma II dice
"Assioma II. Siano A ed f un'osservabile e una funzione reale (di
variabile reale) misurabile; se ad A corrisponde l'operatore A, allora
ad f(A) corrisponde l'operatore f(A) = \int f(l) dE_l^A dove E_l^A
rappresenta la risoluzione dell'identità di A."
Non mi pare che dica mai che cosa intende per funzione "misurabile"
(dovrebbe dire "misurabile ripetto a E_l^A": Roman dà la definizione,
ma non posso riportarla).
La definizione 3.1 non è una definizione:
"Definizione 3.1. Due osservabili A ed B sono compatibili se sono
simultaneamente misurabili."
(Non ha detto che cosa signiica "simultaneamente misurabili".)
Però rimedia subito (si fa per dire):
"... osserviamo che affinché due osservabili siano contemporaneamente
misurabili deve esistere una procedura sperimentale che permette di
ottenere i valori di entrambe: ad ogni risultato di questo
esperimento, rappresentato dal numero reale l, deve corrispondere una
ben precisa coppia (f(l),g(l)) di risultati di A e B."
Provate un po' ad applicare questa "definizione" al caso di X e Y...
Ma in realtà io ho un'obiezione più di fondo a questa "assiomatica" (e
qui viene il difficile...).
Come assiomatica di una teoria fisica io intenderei un discorso che
abbia questa struttura:
1. Insieme di assiomi, nel senso logico-matematico, ossia proposizioni
che facciano uso solo di termini e concetti ben stabiliti in
matematica, più /termini fisici primitivi/ (nel caso della m.q., forse
potrebbero bastare "stato" e "osservabile".
2. Eventuale sviluppo deduttivo, per es. su autovalori, spettro,
relazioni di commutazione...
3. Nel corso di questa esposizione sono ammessi, anzi benvenuti, dei
/commenti/ (gli "Scholia" di Newton) che spieghino in linguaggio
comune significato e motivazione di quanto si va facendo. Uno scolio
non fa parte del discorso assiomatico: serve solo ad aiutare il
lettore a capire "perché" l'autore dice certe cose, introduce certe
idee e concetti.
3. Postulati interpretativi.
Questo è un passo essenziale e che non dovrebe essere mescolato con
gli altri, come invece fa Nisticò (non solo lui, purtroppo).
I termini primitivi introdotti negli assiomi, e/o alcuni termini
derivati, se ci sono, vengono collegati con operazioni fisiche; il che
permette di utilizzare la teoria, di applicarla a esperimenti e
fenomeni osservati...
Un esempio paradigmatico è il termine "osservabile", che da un lato è
stato identificato con "operatore autoaggiunto", ma dall'altro deve
ricevere un corrispettivo empirico.
Incidentalmente, non è necessario (e non è detto che sia possibile)
associare a *ogni* op. autoaggiunto un'osservabile in senso fisico,
mentre il viceversa *deve* essere assunto.
Osservo che Nisticò nel suo Assioma I afferma viceversa che la
corrispondenza è "bijettiva".
4. Per il caso di teorie come la m.q., che in una certa occasione ho
osato definire "metateoria", è necessario un altro passo.
Sappiamo che gli stati (puri) sono associati a raggi unitari di uno
spazio di Hilbert separabile sui complessi.
(Nota: a questo Nisticò arriva solo in fondo. Nessuna obiezione, e non
so - non ricordo - se anche von Neumann proceda così.)
Di tali spazi ce n'è uno solo (in altre parole, sono tutti isomorfi).
Quindi nell'applicazione della m.q. a un dato sistema fisico occorre
precisare l'identificazione delle osservabili generiche della teoria
con grandezze fisiche che caratterizzano quel sistema.
Anzi, occorre stabilire la struttura dell'/algebra/ delle osservabili,
ossia precisare quali osservabili /generano/ tutte le altre.
Chiarisco con un esempio.
Prendiamo due sistemi facili: un oscillatore armonico unidim. e l'atomo
d'idrogeno con protone fisso ed elettrone senza spin.
Come ho già detto, gli spazi degli stati di questi due sistemi sono
isomorfi, e quindi anche l'insieme degli oper. autoaggiunti è lo stesso.
Però il momento angolare dell'atomo d'idrogeno non ha nessun
significato per l'osc. armonico; né ne hanno le 3 coordinate
dell'elettrone.
Sarebbe problematico definire cone osservabile dell'atomo la
hamiltoniana dell'osc. armonico, ecc.
Quindi occorre precisare qual è l'algebra delle oss., come è generata.
E' ovvio come questo punto sia connesso con la domanda di Maurizio.
E' anche chiaro che l'osservazione di Giorgio:
> Vorrei sottolineare che il fatto che 2 osservabili siano compatibili o
> meno è un fatto stabilito dalla realtà fisica, la commutazione dei
> corrispondenti operatori nel formalismo della MQ è solo una
> conseguenza di quanto sopra.
ha strettamente a che vedere, ma confesso di non veder chiaro se
condividerla o no.
Qui mi fermo, spernado di aver detto quacosa di utile :-)
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Elio Fabri
Received on Wed Mar 14 2018 - 17:48:27 CET