fabio ha scritto:
> Sono un po' perplesso su alcune notazioni che ritrovo in un libro ed
> in alcune dispense.
Ti capisco perfettamente...
> Le dimensioni in cgs sono
>
> erg s^-1 cm^-2 rad^-2 Hz^-1
>
> il che mi tornerebbe se un rad viene da cosQ e un rad da dw.
Punto primo: quelle che hai scritto sono *unita' di misura*, non
dimensioni.
Conosci la differenza?
Punto secondo: il coseno e' *con assoluta certezza* un numero puro.
Almeno su questo troverai assoluta concordia :-)
> Ma su delle dispense leggo invece unita' in
>
> erg s^-1 cm^-2 str^-1 Hz^-1
>
> dove mi torna che dw sia misurato in steradianti, e cosQ
> adimensionale.
Appunto: rad^2 e sr (non str) sono esattamente la stessa cosa, anche
se molto spesso non lo troverai detto esplicitamente.
> Tuttavia non riesco a connettere le due cose. Capisco che rad e str
> sono strettamente parlando adimensionali, vuol dire che posso usarli a
> piacere ?
A rigore la tua domanda non ha niente a che vedere con l'esempio che
hai fatto, visto che li' l'uso e' coerente.
> Ricordo anche che gli steradianti sono chiamati radianti quadrati, nel
> qual caso le due unita' di misura sopra avrebbero senso, ma provo un
> non so che di confusione che sarei grato qualcuno volesse chiarire.
Se riusciro' a chiarire qualcosa non lo so, perche' la questione e'
*obbiettivamente* confusa. Prova a consultare in proposito il sito del
BIPM, e vedrai...
Eccoti un esempio:
"In practice, with certain quantities, preference is given to the use
of certain special unit names, or combinations of unit names, to
facilitate the distinction between different quantities having the
same dimension. When using this freedom, one may recall the process by
which the quantity is defined. For example, the quantity torque may be
thought of as the cross product of force and distance, suggesting the
unit newton metre, or it may be thought of as energy per angle,
suggesting the unit joule per radian. The SI unit of frequency is
given as the hertz, implying the unit cycles per second; the SI unit
of angular velocity is given as the radian per second; and the SI unit
of activity is designated the becquerel, implying the unit counts per
second. Although it would be formally correct to write all three of
these units as the reciprocal second, the use of the different names
emphasises the different nature of the quantities concerned. Using the
unit radian per second for angular velocity, and hertz for frequency,
also emphasizes that the numerical value of the angular velocity in
radian per second is 2 pi times the numerical value of the
corresponding frequency in hertz."
Se non ci hai capito non ti preoccupare: nemmeno io :)
Ecco invece come avevo affrontato la questione, quasi 20 anni fa, nei
miei appunti per il corso di Fisica Generale I.
Non posso purtroppo riportare tutto il capitolo, ma mi limito alla
parte essenziale, speranso che riesca comprensibile.
Il problema degli angoli
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L'esatto status degli angoli come grandezze fisiche ha sempre
costituito un problema. Da un lato, sembra naturale considerarli
numeri puri, in quanto rapporti di due lunghezze; dall'altro, come si
spiega che esistano diverse unita' di misura (radiante, grado, secondo
...)? Inoltre esistono gli "angoli solidi", che hanno unita' di misura
proprie (steradiante, grado quadrato ...).
In realta' nell'ultima convenzione internazionale che ha
ridefinito il SI la posizione degli angoli e' rimasta
"impregiudicata": possono essere intesi a scelta come _numeri puri_,
ma anche come _grandezze fondamentali, ovviamente con propria unita'.
Purtroppo pero' se si va a guardare la pratica, la si trova alquanto
contraddittoria. Vediamo percio' come si dovrebbe procedere con
coerenza nei due casi.
A. Angoli come grandezze derivate
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Si definisce l'angolo come rapporto fra la lunghezza dell'arco e
il raggio.
Allora:
1) Gli angoli sono numeri puri, e non ha senso introdurre unita'
(neppure il radiante).
2) A maggior ragione non e' lecito usare gradi, ecc.
3) Gli argomenti delle funzioni trigonometriche sono direttamente gli
angoli.
4) Vi sono grandezze non omogenee, e di significato fisico molto
diverso, che hanno le stesse dimensioni: l'esempio piu' tipico sono
energia e momento di una forza, che non e' certo corretto sommare
insieme!
B. Angoli come grandezze fondamentali
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L'angolo viene definito dalla geometria, al modo classico (come
parte di piano) o attraverso le rotazioni. Allora:
1) Ha senso introdurre tutte le unita' di misura che si vuole.
2) Si aggiunge una nuova dimensione alpha.
3) Occorre percio' una nuova "costante universale" - chiamiamola rho -
di dimensione [alpha], corrispondente al radiante: rho = 1 rad.
4) La costante rho dovra' comparire in molte formule in cui non e'
abituale introdurla.
Esempi:
- la relazione fra arco, raggio e angolo (fig 1):
s = r theta / rho
- la velocita' angolare:
w = rho v / r [w] = [alpha][t]^{-1}
- il momento di una forza:
M = r F / rho [M] = [l][F][alpha]^{-1} = [E][alpha]^{-1} !+ [E].
5) Gli argomenti delle funzioni trigonometriche debbono essere sempre
numeri puri: es. sin(theta/rho).
6) Gli angoli solidi hanno dimensione [alpha]^2 e le unita' sono i
quadrati di quelle usate per gli angoli (ster = rad^2).
7) Nelle formule che contengono angoli solidi, figurera' di solito rho^2.
Purtroppo la pratica e' tutt'altro che coerente con l'una o con
l'altra delle due posizioni:
- si dice che gli angoli sono numeri puri
- si usano varie unita'
- non si usa mai la costante rho.
Non resta percio' che affidarsi, come _extrema ratio_, al "sano
intuito fisico"!
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Elio Fabri
Received on Sat Jan 03 2009 - 21:39:15 CET