Il 21 Dic 2008, 23:11, Antrox <Antrox_at_gmail.com> ha scritto:
> Scusate per il titolo e probabilmente per la povert� dell'argomento
> rispetto a quelli che normalmente discutete.
> Vorrei discutere sull'esperimento che si insegna dalle elementari,
> cio� quello di inserire una cannuccia nel bicchiere e dopo aver chiuso
> il foro con un dito, di "sollevare" l'acqua al suo interno. Il mio
> problema riguarda il fatto che normalmente si dice che una volta
> tappato in modo stagno il foro l'acqua interna rimane allo stesso
> livello prima e dopo averla alzata dal bicchiere.
Evidentemente non pu� essere cos�. Ma c'� una spiegazione elementare
certamente alla portata degli strumenti matematici delle scuole elementari.
Io vivo in un paese vicino al mare e ricordo che quasi tutti i miei compagni
di scuola sapevano, ed alla fine l'avevo imparata anch'io, la regola
empirica che durante le immersioni occorre compensare ogni dieci metri di
profondit� per recuperare la differenza di pressione di un atmosfera. Di
conseguenza se dieci metri d'acqua "pesano" 1 atm, un decimetro d'acqua ne
pesa un centesimo. A questo punto la legge di Boyle pu� essere formulata
ricordando che il volume e la pressione sono inversamente proporzionali,
dunque la variazione di volume della parte d'aria che rimane fra il livello
iniziale di bagnatura interna ed il foro chiuso da un dito � un aumento di
volume percentualmente uguale alla variazione di pressione. Perci� potendo
trascurare gli effetti di strizione ne segue una variazione di altezza del
dieci per cento dell'altezza d'aria residua. In tal caso se la cannuccia �
immersa esattamente per met� la variazione di livello risulta, con i tuoi
dati, di circa un millimetro.
L'argomento empirico si basa sui seguenti dati. Mille litri d'acqua pesano
1000 Kg quindi 1000 g x Kg / m^2 � la pressione esercitata da un metro
d'acqua. Ovvero un metro d'acqua esercita una pressione di circa 10^4 N/m^2
se poniamo g = 10 m/s^2 (in verit� sarebbe 9.8m/s^2) e per fare un'atmosfera
che � 10^5 N/m^2 ne occorrono circa 10 metri.
> Cerco di descrivere il fenomeno in modo quantitativo parlando di forze
> anzich� pressioni ottenute moltiplicando quest'ultime per l'area del
> foro della cannuccia:
> P1 : forza della pressione atmosferica
> P2 : forza derivante dalla pressione relativa dell'acqua
> G1 : peso dell'acqua iniziale interna alla cannuccia
>
> Situazione iniziale, cannuccia immersa fino a met� del bicchiere
> riempito d'acqua: P1 + P2 = G1 + P
> dove P = P1 a t=0; Il membro di sinistra indica le forza agenti verso
> l'alto applicate al foro inferiore della cannuccia, il membro di
> destra invece sono le forze verso il basso applicate al foro
> superiore.
Non � chiaro cosa intendi per forze applicate al foro superiore. Direi
piuttosto che � la condizione di equilibrio al foro inferiore dove il membro
di destra indica le forze agenti verso il basso applicate, dall'interno, sul
foro inferiore come risultano dalla somma dei contributi di pressione
dall'aria e dall'acqua dall'interno.
> Genero depressione solamente all'interno della cannuccia attraverso il
> foro superiore P = P3<P1 --> P1 + P2 = G1 + P3 + G2
> dunque a seguito della depressione, per l'equilibrio idrostatico il
> livello dell'acqua interno alla cannuccia si � alzato in modo tale da
> avere G2 = P1 - P3
> Tappo il foro superiore e alzo verticalmente la cannuccia:
> La pressione P2 va a zero (ho tirato fuori la cannuccia dal
> bicchiere), mentre a seguito del foro tappato la pressione rimane
> quella impostata a P3 e a seguito di ci� ho la relazione P1 = G1 + P3
> + G2 che per� non � equilibrata.
Ovvero in altri termini non � vero che siccome il foro � tappato la
pressione interna rimane P3.
> Siamo in una situazione dove l'acqua fa da stantuffo perch� vuole
> scendere a seguito del mancato equilibrio e dunque scendendo non solo
> perdiamo massa (da G2 a G3<G2) ma sopratutto il volume d'aria
> espandendosi diminuisce di pressione ( da P3 a P4<P3)...avremo la
> situazione finale equilibrata P1 = G + P4 dove G = G1 + G3.
Ok.
> Se il mio ragionamento � corretto allora significa che sollevando la
> cannuccia la variazione di livello all'interno della cannuccia non �
> nullo come di solito si dice ma � un dato valore che si pu� calcolare:
> ipotizzo che la fuoriuscita di acqua e dunque la perdita di peso
> dell'acqua sia trascurabile: la mancanza di equilibrio � dovuto
> all'annullamento del valore P2 che dunque deve essere compensato dalla
> variazione di pressione dell'aria racchiusa che deve diminuire di P2.
> Da qui in poi indicher� con la lettera minuscola le relative
> pressioni:
> La cannuccia � immersa per 0,1 m nel bicchiere e la diminuzione di
> pressione � pari a 500 Pa.
Cio� la imposti tu inizialmente a questo valore. In tal caso la variazione
di livello � data dalla variazione di volume di .5 % della parte aerea
interna.
> Ipotizziamo p3 = p1 - g2 = 100000 Pa - 500 Pa = 99500 Pa
> Dalla relazione di Boyle prendendo un valore indicativo di pV = 4,17 J
> --> V = 4,19exp-5 mc
Questa parte del discorso � oscura, con un 4,17 J che piove ex abrupto.
Desunto da che? Per esempio pu� essere presunto da una stima del volume
iniziale pari a 4,19 x 10^(-5) mc, ma in effetti tu fai il contrario. Stimi
il volume iniziale dal prodotto pressione volume. Per esempio con un
diametro di 0,005 m con una parte emersa della cannuccia di un decimetro e
sezione quadrata troveresti (.005)^2 x .1 = 25 x 10^(-7) m^3. Per un volume
di 4,19 x 10^(-5) mc occorre immaginare una cannuccia alta venti volte
tanto. Ora l'uno per cento di 2 metri vale circa 2 centimetri ed � del tutto
ragionevole il risultato finale che trovi.
> Ora p2 (pressione relativa dell'acqua) lo calcolo come 10kN/mc
> moltiplicato per l affondamento ipotizzato di 0,1 m
quindi p2 = 1000 N/mc
> avr� la nuova pressione p4 = p3 - p2 = 98500 Pa
> Dalla legge: V = 4,23exp-5 mc
> La differenza di volume � 0,04exp-5 mc
> Ipotizzando un diametro della cannuccia di 0,005 m, trovo l'area e il
> relativo abbassamento di livello che provoca la diminuzione di
> volume:
> h = DeltaV/A = 0,02 m
>
> Sinceramente pensavo di trovare un valore nettamente pi� basso. Se il
> ragionamento che ho fatto � corretto allora tutte le semplificazioni
> che ho fatto hanno reso il modello poco reale (perdita di liquido
> trascurabile, tensioni tangenziali nulle, gas ideale...) altrimenti
> pi� probabile non ci ho capito niente.
La situazione � effettivamente questa: se consideri una cannuccia da 5
millimetri di sezione alta due metri la variazione di volume dell'uno per
cento fai prima ad ottenerla come deformazione delle pareti che come
variazione di livello, ma probabilmente in concreto risulter� da una
concomitanza dei due effetti. L'approssimazione di tensioni tangenziali
nulle � semplicemente inconsistente con l'ipotesi di equilibrio quando la
cannuccia � del tutto estratta, infatti l'acqua, se rimane nel tubo, vi
rimane in virt� delle tensioni superficiali che garantiscono tensioni
tangenziali dovute alla formazione di un menisco. La variazione di livello
del liquido � poi incompatibile con l'ipotesi di travaso di liquido
trascurabile, ipotesi che se ci rifletti bene � del tutto superflua.
> Cosa ne pensate (non sono un fisico o matematico...non mi
> distruggete : ) ) ?
Ad una lettura superficiale propendevo per una correttezza di ragionamento a
fronte di qualche errore di calcolo come avevo scritto in una prima
risposta, che ancora non vedo arrivata sul ng. Dopo essermi soffermato sui
singoli passi, commentandoli, penso che potresti esserti sbagliato
nell'ipotizzare il valore iniziale di p V, mentre il ragionamento, a parte
delle stranezze di espressione che me lo rendono sospetto, continua a
sembrarmi essenzialmente serrato, in effetti ammettendo l'ipotesi che fai
sul valore iniziale di pV quello che trovi � semplicemente il valore
corretto della variazione di livello nell'ipotesi di pareti indeformabili.
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Received on Sun Dec 28 2008 - 21:58:14 CET