Re: Particelle, distribuzioni e cambi di variabili

From: cometa_luminosa <alberto.rasa_at_virgilio.it>
Date: Sun, 7 Dec 2008 09:31:14 -0800 (PST)

On 4 Dic, 18:41, "p4..."_at_libero.it (popinga) wrote:
> Ciao,
> consideriamo un fascio particelle relativistiche tutte uguali e definiamo le
> grandezze:
> E = energia
> p = impulso
> M = massa di riposo
> Fissiamo c=1 (unit� naturali) e ricordiamo la relazione:
> E(p) = sqrt(p^2 + M^2) (1)
>
> Supponiamo che queste particelle, in un ampio intervallo di energia,
> presentino una distribuzione di energia ben nota:
> g(E)= (dN/dE)
>
> dove g(E) � regolare, continua, differenziabile e tutto quello che vi pare.
>
> Se ora voglio passare dallo spettro in energia allo spettro in impulso
> f(p)= (dN/dp)
>
> questo sar� dato da:
> f(p)= |dE/dp|*(dN/dE)
>
> dove E si ottiene dalla (1) e
> dE/dp = -p/sqrt(p^2+M^2)
>
> che � il jacobiano della trasformazione (in pratica � beta).
>
> Fino qui tutto bene. Ma adesso supponiamo che il nostro fascio contenga due
> specie diverse di particelle di masse ben note M1 e M2. Le loro
> distribuzioni in energia g1 e g2 non sono note, ma quello che � noto � la
> distribuzione del rapporto r(E). Questa � data analiticamente dal rapporto
> delle due distribuzioni g1 e g2:
> r(E)= g1(E)/g2(E)
>
> ma, come ho detto, g1 e g2 sono ingnote. Quello che mi chiedo � se partendo
> dalla sola conoscenza di r(E) posso ottenere l'equivalente distribuzione in
> impulso
> h(p)= f1(p)/g1(p)
>
> Attenzione, ora la relazione (1) � differente per le due specie in quanto le
> due particelle hanno masse diverse.

Due cose:
1. Non ho capito il segno meno in dE/dp.
2. per h(p) intendevi f1(p)/f2(p)?


In quest'ultimo caso:

f1(p) = dN1/dp = dN1/dE*(dE/dp)1 = g1(E)*v1

f2(p) = g2(E)*v2

f1(p)/f2(p) = r(E)*v1/v2

p = m*v/Rad(1-v^2) --> v^2 = p^2/(m^2+p^2)

p = m1*v1/Rad(1-v1^2) = m2*v2/Rad(1-v2^2) -->

--> (vari passaggi) --> v1^2/v2^2 = k^2/[1+(k^2-1)*v2^2]

v1/v2 = k/Rad[1+(k^2-1)*v2^2]

con k = m2/m1

sostituisco v2^2 = p^2/(m2^2+p^2) nel secondo membro:

v1/v2 = k/Rad[1+(k^2-1)*p^2/(m2^2+p^2)]

Percio'

h(p) = r(E)*k/Rad[1+(k^2-1)*p^2/(m2^2+p^2)].

Non so se sono stato utile oppure se intendevi tutt'altra cosa.
Ciao.
Received on Sun Dec 07 2008 - 18:31:14 CET