Valter Moretti ha scritto:
> Ciao, si quello lo avevo pensato anche io, ma io chiedevo se si
> potesse definire una rotazione della porzione di tutto il sistema
> ("non solo lo spin" ho scritto, se leggi bene) che cade in una regione
> fissata.
> Questo credo che non si possa fare. In ogni caso nel caso in esame
> bastava lo spin e la soluzione � quella che hai scritto tu.
Scusami per l'immenso ritardo.
E' che avevo una certa confusa idea, e speravo di riuscire a
chiarirmela...
Ma visto che per ora non ci riesco, tento di propinartela cosi' com'e'
:)
Riguarda appunto la questione di come definire una rotazione che
interessi solo una regione dello spazio.
Il problema mi ha fatto venire in mente un giochetto che ho mostrato
piu' volte ai miei studenti quando parlavo della non semplice
connessione di SO(3), e che penso abbia qualche relazione col problema
attuale.
Non so se lo conosci, se sia largamente noto, e se sia banale la
spiegazione che a me non e' mai riuscita chiara.
Difficile spiegarlo senza figure e senza usare le mani e quaklche
ausilio materiale, ma proviamo...
Nella figura qui sotto, A e B sono due oggetti qualsiasi: diciamo due
monete per fissare le idee. Sono viste di profilo.
Alla faccia inferiore di A e' incollata uan striscia S di carta (per
chi vuol provare, e' bene che sia lunga almeno 40 cm se e' larga 1
cm).
La striscia e' anche incollata alla faccia superiore di B
========= A
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| | S
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| |
| |
========= B
Si posa B sul tavolo, e si ruota A attorno all'asse verticale, per un
giro completo. Ovviamente S si torce. Niente di strano...
Si fa fare ad A un altro giro, nello stesso verso. S si torce di
piu'...
Ed ecco il gioco di prestigio: sollevando B dal tavolo, tenendo A e B
nelle due mani, e muovendole in modo che A e B compiano solo
spostamenti traslatori e non rotatori (del resto non sarebbe
possibile) si riesce a riportare l'intero sistema nelle condizioni
iniziali: A sopra B e S senza torsione.
Non mi chiedete in dettaglio come si fa: io lo so fare, m'e' sempre
riuscito a lezione :-)) ma spiegarlo a parole...
La cosa che non ho mai capito e' questa: sono sicuro che il fatto che
si possa fare dopo due giri di A, ma non dopo un solo giro, deve essere
connesso al gruppo fondamentale di SO(3), che e' Z_2.
E di conseguenza al fatto che una funzione d'onda di spin 1/2 torna
invariata (segno incluso) solo dopo una rotazione di *due* giri.
Tu conosci la spiegazione? Magari e' arcinota presso qualche
sottoinsieme di matematici? :-))
La relazione col problema attuale credo sia chiara: non e' difficile
scrivere una trasformazione che fa ruotare A ma non B, e che fa
ruotare con continuita' di un angolo variabile i diversi piani
orizzontali.
Ma dopo un giro di A non si ottiene certo l'identita'...
Forse dopo *due* giri si arriva a qualcosa che si puo' portare
all'identita' con traslazioni (anche queste variabili da punto a
punto)?
Metto le mani avanti: l'ultima frase non si sa bene che cosa
significhi, ma se lo sapessi avrei la soluzione :-)
--
Elio Fabri
Received on Mon Nov 24 2008 - 20:56:37 CET