Prolungamento del differenziale e del codifferenziale ...

From: Imago Mortis <meccanica.quantostica_at_gmail.com>
Date: Mon, 10 Nov 2008 22:18:34 +0100

   Ammirati Colleghi

--[ Proemio ]--

Se 'sta cosa (come, purtroppo per me, temo) sta sulle dispense del prof.
Moretti, mi tiro le orecchie da solo per non essere riuscito ad
individuarla. Promesso.

--[ Dilemmi ]--

Entro tutte le ipotesi di regolarita' occorrenti, siano:

  V e W due varieta' differenziabili
  Phi : V -> W una trasformazione
  p un punto su V

Per sintesi, conveniamo di indicare con

  E lo spazio tangente T_p(V) alla varieta' V nel punto p
  F lo spazio tangente T_Phi(p)(W) alla varieta' W nel punto Phi(p)

  Diff : E -> F il differenziale di Phi in p
  CoDiff : F -> E il codifferenziale di Phi in p

[ 1 ]
In un certo volume leggo una proposizione che non riesco a comprendere:
"si ricordi che Diff puo' estendersi a tutte le potenze tensoriali E^r
oppure F_r";.

Evidentemente (credo), la funzione Diff non puo' essere estesa ad un
insieme, diciamo E^2 (^2 qui sta per tensore controvariante di rango 2,
non E x E) di cui il suo dominio non sia un sottoinsieme, a meno che non
esista un' immersione naturale di E in E^2 la cui definizione non faccia
ricorso alle coordinate in una specifica base (non credo).

Una possibile interpretazione potrebbe essere che, identificando
ciascuno degli spazi E^r con l'insieme A(E)^r degli elementi
dell'algebra tensoriale A(E) su E aventi tutte le componenti nulle ad
eccezione della r-esima, esista una ed una sola applicazione

H : A(E) -> A(E)

rispetto alla quale A(E)^1 sia invariante e che associ all'elemento (...
T ...) quello (... Diff T ...)

[ 2 ]

Piu' avanti, si dice: "... se il differenziale Diff e' un isomorfismo
esso puo' prolungarsi a tutta l'algebra tensoriale ..." ... "... due
varieta' diffeomorfe non soltanto sono indistinguibili da un punto di
vista topologico differenziale ma sono altresi' isomorfe le algebre
tensoriali ed esterne in punti corrispondenti ...".

Questa affermazione mi sembra avvalori l'ipotesi interpretativa di cui
al punto precedente. Se ne dedurebbe, inoltre,
che se le due varieta' non sono diffeomorfe l'estensione di Diff e
CoDiff e' limitata ai sole potenze tensorali di tipo E^r e F_r

[ 3 ]

L'espressione in forma coordinata della funzione H e' preliminare
ineludibile alla espressione in forma coordinata della derivazione di Lie

--[ Postemio (??!) ]--
Su qualunque altro gruppo mi avrebbero bannato da tempo (credo).
E avrebero fatto bene (non credo).
Vi ringrazio per la solidale pazienza (spero).

  Imago Mortis
Received on Mon Nov 10 2008 - 22:18:34 CET