Contrazione sugli indici di un tensore

From: Imago Mortis <meccanica.quantostica_at_gmail.com>
Date: Wed, 22 Oct 2008 12:40:18 +0200

  Ammirati Colleghi

Nonostante abbia rovistato in
numerosi volumi mi rimane per
molti versi oscura la nozione
dell'operazione di saturazione
su un gruppo di indici di un
tensore. In particolare non ne
comprendo il significato geometrico,
tanto meno quello fisico, ne' riesco
a pensare a quali, se possibile,
casi elementari possa ricondursi.

Please, potete indicarmi qualche
fonte per procedere nello studio
della faccenda ?

Fa seguito quanto attualmente
gia' so (credo si sapere ...).

Buon lavoro !!

Imago Mortis
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Indichiamo con

T^(p)_(q) l'insieme dei tensori
p-controvarianti e q-covarianti
sullo spazio vettoriale V_n.

Sia h un intero tale che
1 <= h < min{p,q}

Si scelgano h numeri interi
soddisfacenti la relazione
1 <= i_1 < ... < i_h < min{p,q}

Introduciamo una funzione

c[i_1 ... i_h]

(nota bene: la precedente
notazione NON indica l'applicazione
della funzione c agli argomenti
(i_1 ... i_h);
c[i_1 ... i_h] e' per intero
il simbolo di una mappa)

c[i_1 ... i_h] : T in T^(p)_(q) --> t in T^(p-h)_(q-h)

mediante questa procedura:

(1) si fissi ad arbitrio una base
B = (e_i) in V_n

(2) sia B* = (w^i) la sua duale
nello spazio V*_n dei covettori su V_n

(3) siano
u_1 ... u_(q-h) vettori in V_n
v_1 ... v_(p-h) covettori in V*_n
e si voglia calcolare
c[i_1 ... i_h](u_1 ... u_(q-h) , v_1 ... v_(p-h) )


(4) nella sequenza dei "posti a sedere"

_ ... _ , _ ... _
1 q 1 p

quelli i_1 ... i_h per i vettori
vengono occupati da e_1

quelli i_1 ... i_h per i covettori
vengono occupati da w_1

i rimanenti da
u_1 ... u_(q-h)
v_1 ... v_(p-h)

(5) si calcola il valore di T
sulla sequenza di argomenti preparata
al punto precedente.

(6) Si ripete quanto fatto con e_1 per ogni
altro membro della base B

(7) Si sommano i risultati e quanto ottenuto
e' il valore di t in
(u_1 ... u_(q-h) , v_1 ... v_(p-h) )


(8) la funzione
c[i_1 ... i_h] e' lineare e non dipende dalla
scelta della base B
Received on Wed Oct 22 2008 - 12:40:18 CEST