Il 07 Ott 2008, 21:29, Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it> ha scritto:
> Paolo Cavallo ha scritto:
> > ...
> > Questo non � possibile perch� ipotizziamo un sistema uuu, OK. Ma
> > perch� il colore non pu� essere usato per risolvere il problema?
> > Perch� la funzione d'onda totale spin-sapore-colore non pu� avere la
> > simmetria necessaria?
> Eh eh, nel frattempo ho risolto l'arcano :)
> Non puoi usare il colore perche' si deve assumere che le particelle
> osservabili siano singoletti di colore.
> Nel caso di tre quark il singoletto e' completamente antisimmetrico.
D'accordo su questo, ma la questione � allora riformulabile in questi
termini: perch� non � possibile costruire una funzione d'onda simmetrica
utilizzando combinazioni lineari di prodotti delle due rappresentazioni
irriducibili miste del gruppo di permutazione? Quelle cio� che corrispondono
al diagramma autoduale:
**
*
Il problema � probabilmente con il vincolo aggiuntivo che il momento
angolare intrinseco risulti zero. Ovvero che la funzione d'onda totale sia
invariante per rotazioni intorno al centro di massa.
> dido ha scritto:
> > A pag 443-444 fa la considerazione che hai richiamato con la segunte
> > logica: la funzione d'onda e' il prodotto del fattore spaziale, di
> > spin e di specificazione quarkica (non ha ovviamnete ancora introdotto
> > il colore, lo fa il paragrafo dopo ndr); poiche' lo spin e la parte
> > quarkica sono simmetriche _deve_ essere antisimmetrica la parte
> > spaziale e allora costruisce una funzione d'onda invariante per
> > rotazione e traslazione e antissimmetrica.
> Mi piacerebbe vedere com'e' fatta.
Ad esser proprio pignoli non pu� esistere una funzione d'onda con parte
spaziale invariante per traslazioni, pu� esistere una funzione d'onda con
momento angolare intrinseco nullo e momento angolare del centro di massa
nullo. Domanda: se entrambe queste condizioni sono verificate, questa
funzione d'onda deve essere il prodotto di una funzione delle sole
coordinate del centro di massa per una funzione delle sole coordinate
intrinseche? Questo non � certamente obbligatorio nel caso che si tratti di
una funzione a simmetria sferica: un esempio di funzione d'onda dispari per
parit� spaziale e con momento angolare totale nullo � semplice da costruire
in questo modo:
poniamo convenzionalmente:
X = (r1+r2+r3)/3
Y = (r1 - r2)
Z = (r1 + r2 - 2r3)/2
si tratta di tre vettori. L'idea semplice � considerare l'elemento di volume
(Y x Z).X che � dispari, e poi cercare di ottenere una funzione d'onda
moltiplicando per la funzione pari exp(-X^2) exp(-Y^2) exp(-Z^2), ad
esempio, e normalizzando opportunamente il tutto. Ovviamente l'elemento di
volume � invariante per rotazioni, come anche le lunghezze dei vettori
relativi X,Y,Z. Tuttavia questa funzione d'onda non � invariante per
rotazioni intrinseche, rispetto cio� al centro di massa, quindi il momento
angolare intrinseco non � zero.
Veniamo alla questione del momento angolare intrinseco: poich� c'� una
trasformazione canonica dalle variabili canoniche delle tre particelle alle
variabili canoniche X, Y, Z e loro momenti coniugati il problema del moto
classico pu� essere ricondotto, come noto dalla meccanica classica, alla
dinamica di due particelle fittizie Y,Z di masse 1/2 e 2/3, disaccoppiato
dalla dinamica di una particella fittizia di massa 1, associata al centro di
massa. L' hamiltoniana totale se la fisica � invariante per traslazioni
globali si riduce alla struttura:
P_X^2/2 + [P_Y^2 + 3/4 P_Z^2 + V(Y,Z) ]
questa hamiltoniana commuta con il momento angolare totale, perch� in
particolare P_X^2 � invariante per rotazioni, il momento angolare totale,
tuttavia si traduce, per effetto delle trasformazioni canoniche nel momento
angolare X x P_X + ( Y x P_Y + Z x P_Z) orbene sono i due termini,
considerati separatamente, del momento angolare a commutare con
l'hamiltoniana globale il primo lo diciamo momento angolare del centro di
massa, il secondo momento angolare intrinseco, in accordo con la meccanica
classica e che generano una rotazione del centro di massa senza agire sulle
coordinate Y,Z ed una rotazione intorno al centro di massa senza agire su X
.. La funzione d'onda costruita prima non � autofunzione del momento angolare
intrinseco: lo si vede immediatamente dal fatto che X.(YxZ) non � invariante
per rotazioni relative di X rispetto ad Y,Z.
Con quattro particelle � semplice, trovare una soluzione al problema,
invece: basta considerare il determinante fra i vettori intrinseci,
l'elemento di volume � pseudoscalare.
Vediamo adesso la questione relativa allo scambio di particelle
Trattandosi di antisimmetria per scambio di particelle dobbiamo prima
studiare l'effetto dello scambio di particelle sui vettori intrinseci, anche
in questo caso non c'� difficolt� a costruire una funzione d'onda a
simmetria sferica, ed antisimmetrica per scambio di particelle dato che c'�
la funzione determinante. D(r1,r2,r3), tuttavia, come prima, nemmeno questa
� autofunzione del momento angolare intrinseco. Ammettendo il vincolo di
utilizzare solo i vettori intrinseci Y,Z osserviamo che la funzione deve
verificare le seguenti due condizioni:
f( -Y,Z) = - f(Y,Z)
f((Y+Z)/2, (Y+3Z)/2 ) = - f(Y,Z)
che corrispondono alle trasformazioni 1<->2 e 2 <->3 che generano tutto il
gruppo S_3. Anche in questo caso con quattro particelle � immediato
costruire una funzione d'onda antisimmetrica a momento angolare intrinseco
zero.
> > "... non e' una funzione semplice, ma, in linea di principio e'
> > possibile [si legge spesso che una funzione d'onda antisimmetrica con
> > L=0 non si puo' scrivere, ma questo non e' vero]"
> Infatti avrei detto anch'io che non e' possibile...
> --
> Elio Fabri
>
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Received on Thu Oct 09 2008 - 22:16:12 CEST