On 12 Set, 20:05, Antrox <Ant..._at_gmail.com> wrote:
> Salve, mi scuso in anticipo per la terminologia non troppo corretta:
>
> Prendiamo l'equazione del calore standard: ut = K uxx (per 0<=x>=L;
> t>=0)
K>0: � fondamentale per un sacco di propriet� dell'equazione del
calore.
> Se prendiamo le condizioni al contorno u(0,t) = u(L,t)=T la soluzione
> stazionaria esiste � sar� semplicemente la funzione costante T.
> Se prendiamo le condizioni di newman con ux(0,t)=A ; ux(L,t)=B, la
See, Paul Newman...si scrive Neumann. Carl Neumann era tedesco.
> soluzione stazionaria esiste solo se A=B.
>
> Prendiamo ora una sorgente di calore, con questa l'equazione sar� ad
> esempio: ut = K uxx + Q(x) (per 0<=x>=L; t>=0) con condizioni di
> Dirichlet omogenee
>
> 1)Volendo trovare la soluzione stazionaria baster� porre K uxx + Q(x)
> = 0
> ma in questo caso devo verificare a priori se la soluzione stazionaria
> esiste verificando che la conservazione della quantit� di calore sia
> soddisfatta?
Per le condizioni di conservazione integra su di un volume e poi usa
il teorema di Gauss: in questo caso 1D, semplicemente usa il teorema
fondamentale del calcolo integrale. Hai
K(u_x(B)-u_x(A)) = -int[A,B] (Q(x) dx)
Poich� le condizioni al contorno fissano solo i valori di u(B) ed
u(A), ma non del flusso (in questo caso, della derivata), avrai
semplicemente che la soluzione, se esiste, soddisfa l'equazione di cui
sopra. Se invece avessi posto condizioni di Neumann omogenee, avresti
avuto
0 = int[A,B] (Q(x) dx)
il che non � possibile se ad esempio Q � continua, Q >= 0 per ogni x
in I=[A,B] & esiste x_0 appartenente a I, tale che Q(x_0) > 0
>
> 2) E come si verifica? Io avevo pensato semplicemente, dato i discorsi
> precedenti, di integrare tra 0-L la Q(x) verificando che l'integrale
> venga zero.
Non deve venire 0, se le BC sono Dirichlet. Nel fare l'integrale ti
sei scordato di integrare Ku_{xx}.
Infatti in questo caso la sorgente di calore � sia
> positiva che negativa in modo tale da annullarsi a vicenda. Per
> spiegarmi: se Q(x)=COST > 0 allora la sorgente di calore essendo
> sempre positiva non fa arrivare mai la soluzione ad un risultato
> stazionario perch� diciamo che c'� sempre un emissione di calore
> (forse il mio errore � che intendo Q(x) come un flusso?)
Ma parli di condizioni di Dirichlet omogenee o di Neumann? Avevi detto
Dirichlet, ma dal discorso che fai poi sembra che tu ti riferisca alle
condizioni di Neumann omogenee...allora avresti ragione.
Received on Sat Sep 13 2008 - 19:18:43 CEST