Esempi di calcolo di esergia (o anche "exergia") e Anergia (Re: Definizione...

From: Tommaso Russo, Trieste <trusso_at_tin.it>
Date: Mon, 03 Sep 2012 23:11:25 +0200

Il 25/08/2012 15:32, cometa_luminosa ha scritto:
>
> Potresti fare (almeno) un esempio pratico?

Come richiesto anche da Elio, e per maggior chiarezza nella discussione
che seguira':

  *esempi di calcolo dell'esergia* (detta anche "exergia") per sistemi
all' *equilibrio termico*

  Gli esempi sono del tutto banali.


Il calcolo di un'esergia richiede *prima di tutto* di fissare una
temperatura di riferimento, pensando di poter disporre di un termostato
a quella temperatura in grado di fornire o assorbire "qualsiasi"
quantita' di calore senza praticamente variarla. Esempi ovvi e comuni sono:

Ta = 300 K. Oceano alla temperatura di 27�C.
Ta = 273,16 K. Termostato contenente acqua (q.b.) al punto triplo.
Ta = 2,725 K. Irraggiamento verso lo spazio cosmico, limitato solo dalla
radiazione cosmica di fondo.


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1). balla di fieno di massa m sospesa a 20 m (beh, diciamo altezza h)
sopra all'oceano, alla sua stessa temperatura.


Bisogna precisare che del sistema A fanno parte solo la balla, il campo
gravitazionale, il vincolo inferiore e il sistema di sospensione. Non ne
fa parte nessun comburente, per cui non si puo' ricavare ulteriore
lavoro bruciando il fieno :-). Inoltre, non si considerano ne' suoi
possibili processi di fermentazione, ne' la possibilita che qualche suo
atomo possa essere sottoposto a processi di fusione o fissione in grado
di restituire piu' energia di quella necessaria ad innescarli. Queste
limitazioni sono abbastanza pacifiche, ma voglio tornarci sopra in seguito.

    *caso reversibile*

E' chiaro che tutta l'energia interna della balla a temperatura Ta "e'
gia'" Anergia, e tale rimarra', mentre l'energia potenziale mgh della
balla puo' essere totalmente convertita in lavoro (ad esempio, facendola
scendere mentre la corda che la sostiene, tramite una carrucola, ne
solleva un'altra della stessa massa m). Il fatto che l'oceano sia un
termostato non interviene: il termostato a temperatura Ta ha soltanto
assistito al processo: non ha cambiato stato, in quanto non vi e' stato
scambio di calore.

L'esergia iniziale e' mgh, la finale e' 0; l'Anergia finale An_f e' la
stessa che nello stato iniziale, An_i;

per la formula ricavata nel post d'apertura,

(7) S(Af(T)) - S(Ai) = { An(Af(T),T) - An(Ai,T) } / T

la variazione di entropia di A e' (An_f-An_i)/Ta ed e' sempre nulla,
qualunque sia la temperatura Ta.

    *caso irreversibile*

E se la balla cade in acqua?

In questo caso l'energia potenziale mgh si trasforma in energia cinetica
(la presenza dell'aria non cambia di molto il risultato) che si
trasforma in energia di moto ondoso che, smorzandosi, la cede aumentando
l'energia interna dell'oceano. Per il sistema A il risultato e' il
medesimo, per l'oceano no: rispetto alla sua stessa temperatura, *tutta*
la sua energia interna e' Anergia, ed e' aumentata di mgh. Nel processo
irreversibile, l'esergia di A si e' "degradata" ad Anergia
(dell'oceano), e l'entropia dell'oceano e' aumentata di mgh/Ta.

Ragionamenti analoghi possono essere fatti per tutti i sistemi dotati
inizialmente di energia "nobile", condensatori carichi, magneti
superconduttori... L'energia "nobile" e' tutta esergia.


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2). Termostato "reale" a temperatura Tb > Ta

Un termostato "reale" e' semplicemente un sistema che si comporta come
un termostato, ma che dopo aver ceduto o assorbito una certa quantita'
di calore cessa di essere tale. Una realizzazione pratica puo' essere
una qualsiasi sostanza al suo punto triplo: una buona approssimazione
puo' essere una colata di metallo fuso trasferita in un contenitore
termico quando ha gia' iniziato a solidificarsi in una precisa forma
cristallina (la tensione di vapore dei metalli, rispetto alla pressione
atmosferica, e' piuttosto bassina). Il sistema si comporta come un
termostato finche' le due fasi coesistono, quando completamente
solidificato diventa un semplice "corpo caldo" (che viene trattato nel
seguito).

    *caso reversibile*

Finche' resta un termostato, da ogni cessione di una quantita' di calore
Q puo' essere ricavato un lavoro pari a Q((1-Ta/Tb) (facendo fare, ad
esempio, un numero intero di cicli ad una macchina di Carnot): l'energia
interna Q "in uscita" dal termostato "reale" puo' essere allora
considerata come la "somma" della sua "esergia riferita a Ta",
Q((1-Ta/Tb), e di una sua Anergia QTa/Tb, che dovra' venir ceduta al
termostato a Ta.

Nel processo, l'esergia del termostato reale diminuisce del lavoro
fatto, mentre la sua Anergia varia (diminuendo) di -QTa/Tb, e la sua
entropia quindi *diminuisce*, variando per la (7) di

    Delta S_A = (-QTa/Tb)/Ta = -Q/Tb

mentre l'oceano, che aumenta la sua Anergia della stessa quantita' in
valore assoluto, QTa/Tb, aumenta la sua entropia (sempre applicando la (7))

    Delta S_oceano = Q/Tb.

La variazione totale di S e' nulla: ovvio, visto che il processo
ipotizzato e' reversibile, e da tutta l'esergia e' stato ottenuto lavoro.

    *caso irreversibile*

Il termostato "reale" a Tb viene messo a contatto per un breve tempo con
il termostato a Ta, e gli cede il calore Q.

In questo caso, l'esergia di Q, Q((1-Ta/Tb), passa direttamente
all'oceano a Ta diventando Anergia. L' Anergia di A varia come sopra, e
quindi abbiamo ancora

    Delta S_A = (-QTa/Tb)/Ta = -Q/Tb

mentre per l'oceano, invece,

    Delta S_oceano = Q/Tb + Q((1-Ta/Tb)/Ta.

L'aumento d'entropia totale e' quindi

    Delta S_tot = Q((1-Ta/Tb)/Ta = Q/Ta - Q/Tb

come da manuale :-)


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3). Bombola piena di gas "perfetto" e bombola vuota, il tutto gia' a
temperatura ambiente Ta


Questo esempio e' particolarmente istruttivo, perche' mostra chiaramente
che l'esergia di un sistema non puo' essere (sempre) considerata "una
parte" della sua energia interna, "disponibile" per essere trasformata
in lavoro.

Per visualizzare meglio, si puo' pensare che la bombola vuota sia un
cilindro in cui puo' scorrere un pistone su cui si puo' appoggiare un
peso, e che sia immersa nel vuoto. Nella versione "bombola", il pistone
e' bloccato a un certo volume. Per ottenere lavoro, il pistone e' nella
posizione di volume nullo, e sopra vi si appoggia una massa (ben
frazionata) adeguata a mantenerlo all'equilibrio (pari a
p_ini*S_pistone/g) .

La bombola piena ha un volume V_ini e il gas e' a pressione p_ini,
mentre il volume (massimo) di quella vuota e' V_fin-V_ini.

    *caso reversibile*

Aperto il rubinetto fra le bombole, si possono asportare
progressivamente pesetti in modo che il pistone si sollevi lentamente;
il lavoro fatto dal sistema e' allora

    L = int_V_ini^V_fin p dV.

Il lavoro massimo lo si ottiene quando lo stato del gas segue
un'isoterma, ossia le due bombole vengono tenute a contatto con il
termostato e i pesetti vengono asportati *molto* lentamente. Lungo
l'isoterma, pV = p_ini V_ini, quindi

    Lmax = int_V_ini^V_fin p_ini V_ini / V dV

         = p_ini V_ini log(V_fin/V_ini)

e questa e' l'esergia del sistema rispetto a Ta.

Bisogna notare che

1) nel processo l'energia interna del gas *non* e' variata (lungo
un'isoterma...) e che quindi tutto il lavoro ottenuto proviene da calore
*ceduto* dal termostato.

2) Quest'ultimo, inoltre, non ha un limite superiore: scegliendo V_fin
sufficientemente alto, e' sempre possibile ottenere piu' lavoro di
quanto fosse inizialmente l'energia interna del sistema.

(Il lavoro che potrebbe fornire il sistema *da solo*, invece, e' quello
di un'espansione adiabatica, molto inferiore a quello di un'espansione
isoterma e, lui si', superiormente limitato dall'energia interna; e
questo sarebbe anche un'esergia del sistema, ma *rispetto alla
temperatura d'arrivo*, inferiore a Ta.)


Per *entrambi* questi motivi, non e' quindi corretto dire (se non in
casi particolari) che l'esergia e' "una parte" dell'energia di un
sistema (e che il resto e' Anergia): e' una proprieta' che il sistema
mostra solo nell'accoppiamento (vero o gedanken) con un termostato alla
temperatura di riferimento Ta.


(Lo stesso ragionamento vale nel caso di un termostato "reale" a
temperatura Tb *minore* di Ta.)


Continua a valere invece la definizione di Anergia come differenza
(possibilmente negativa) fra energia ed esergia, il che consente di
calcolarne le *differenze*:

  An_fin - An_ini = (E_fin - Es_fin) - (E_ini - Es_ini)

Ma in questo caso, E_fin = E_ini, quindi

  An_fin - An_ini = Es_ini - Es_fin = L_max.

L'entropia del sistema "bombole" risulta pertanto, per la (7), aumentata di

    Delta S_A = L_Max / Ta

              = p_ini V_ini log(V_fin/V_ini) / Ta

mentre, visto che l'oceano ha ceduto alle bombole esattamente la stessa
energia interna (che, rispetto a Ta, e' *tutta* Anergia), e' la *sua*
Anergia che e' *diminuita* di L_max, e quindi la sua entropia di

    Delta S_oceano = - L_Max / Ta

                   = - p_ini V_ini log(V_fin/V_ini) / Ta.

e anche qui, come e' ovvio, la variazione totale di S e' nulla.

    *caso irreversibile*

Nel caso invece dell'espansione del gas *libera* (la seconda bombola ha
il pistone fissato al volume V_fin-V_ini), il lavoro L_max *non* viene
fatto; l'entropia del sistema "bombole" risulta ancora aumentata di

    Delta S_A = L_Max / Ta

              = p_ini V_ini log(V_fin/V_ini) / Ta

ma quella dell'oceano, che in questo caso ha soltanto assitito al
processo: non ha cambiato stato, in quanto non vi e' stato scambio di
calore, rimante costante; quindi l'universo termodinamico
"bombole+oceano" ha aumentato l'entropia, nell'espansione senza lavoro, di

    Delta S_tot = p_ini V_ini log(V_fin/V_ini) / Ta

che e' il risultato classico.


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4). esergia di un "mattone caldo" A: solido di massa m e capacita'
termica costante c a temperatura Tb > Ta. Energia interna E = m c Tb.

    *caso reversibile*

Possiamo usare il mattone come sorgente calda per una micromacchina di
Carnot che ad ogni compressione adiabatica porta il suo fluido alla
temperatura T del mattone *in quel momento*, ne assorbe isotermicamente
il calore dQ e dopo l'espansione adiabatica cede isotermicamente un
diverso dQ_out al termostato a temperatura Ta. Ad ogni ciclo fornisce
reversibilmente il lavoro dL = dQ (T - Ta)/T, e la sua temperatura
diminuisce di dT = -dQ/mc, quindi dL = - mcdT(T-Ta)/T. Integrando

  L = - mc int_TB^Ta (1-Ta/T) dT
    = - mc[Ta - Tb - ( Ta log(Ta) - Ta log(Tb)) ]
    = mc[Tb - Ta] - mc Ta log(Tb/Ta)
    = E_ini(mattone) - E_fin(mattone) - mc Ta log(Tb/Ta)

Sappiamo dalla TD classica che questo e' proprio il *massimo* lavoro
estraibile ("con cui si puo' alzare un peso") dal sistema mattone caldo
+ oceano (+ una macchina di Carnot che pero' ritorna allo stato
iniziale); quindi questa e' proprio l'esergia iniziale del mattone
rispetto alla temperatura Ta.

L'ultimo termine e' ovviamente il calore ceduto al termostato a Ta
(cambiato di segno); la somma [Efinale + mc Ta log(Tb/Ta)] e' l'Anergia
iniziale del mattone caldo.

Nello stato finale, in cui il mattone A ha temperatura Ta, rispetto a Ta
la sua esergia e' nulla (nessun lavoro puo' piu' venir fatto senza
ricorrere a un termostato a temperatura < Ta), e la sua Anergia e' pari
alla sua energia finale.

Per la formula ricavata nel post d'apertura,

(7) S(Af(T)) - S(Ai) = { An(Af(T),T) - An(Ai,T) } / T


  S_fin(matt.) - S_ini(matt.) = [ E_fin(matt.) - An(Ai,T) ] / Ta

    = [ E_fin(matt.) - [E_fin(matt.) + mc Ta log(Tb/Ta)] ] / Ta

    = - [ mc Ta log(Tb/Ta)] / Ta

    = - mc log(Tb/Ta)


Che e' la stessa che si ricava classicamente da

  S_fin(matt.) - S_ini(matt.)

           = int_Tb^Ta -dQ/T

           = int_Tb^Ta - mc dT / T .


Per l'oceano, invece, *tutta* la sua energia e' solo Anergia; nello
stato finale, essa e' variata del calore assorbito,

    An_fin(oceano) - An_ini(oceano) = mc Ta log(Tb/Ta)

e quindi, per la (7), la sua entropia e' aumentata di

    S_fin(oceaano) - S_ini(oceano)] =

    [An_fin(oceano) - An_ini(oceano)] / Ta = mc log(Tb/Ta)

Per il sistema complessivo mattone+oceano la variazione totale
dell'Anergia, e quindi dell'entropia, e' nulla; ovvio, visto che tutte
le trasformazioni ipotizzate sono reversibili, e da tutta l'esergia e'
stato ottenuto lavoro.

    *caso irreversibile*

Se, invece di far muovere una macchina di Carnot, ci limitiamo a
immergere il mattone nell'oceano perche' non scotti piu', l'esergia del
mattone rispetto a Ta viene semplicemente *persa* (= trasformata in
Anergia), in quanto il lavoro ottenibile L va tutto in calore ceduto
all'oceano che quindi aumenta . Nello stato finale, l'entropia del
mattone e' la stessa che nello stato finale di prima; e' l'entropia
dell'oceano ad essere ulteriormente aumentata di L/Ta,


   L/Ta = [ mc(Tb - Ta) - mc Ta log(Tb/Ta)] / Ta
        = mc(Tb/Ta - 1) - mc log(Tb/Ta)

ossia

    S_fin(oceaano) - S_ini(oceano)] =
     = mc log(Tb/Ta) + mc(Tb/Ta - 1) - mc log(Tb/Ta)
     = mc(Tb - Ta)/Ta

e l'entropia dell'intero sistema mattone+oceano e' aumentata di

   S_fin - S_ini = mc(Tb - Ta)/Ta - mc log(Tb/Ta)

vale a dire, dell'aumento di Anergia dell'intero sistema (il lavoro che
avrebbe potuto essere fatto in un processo diverso, ma non e' stato
fatto) diviso Ta, che e' poi il significato della (7).


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TRu-TS
Buon vento e cieli sereni
Received on Mon Sep 03 2012 - 23:11:25 CEST