Re: Aiuto-Moto di caduta libera

From: gnappa <lagiraffa77QUESTOVATOLTO_at_yahoo.it>
Date: Wed, 20 Aug 2008 16:56:18 +0200

arco.baleno_at_hotmail.com ha scritto:
>
> A questo punto, proviamo ad utilizzare il principio di conservazione
> dell'energia ammettendo che un grave raggiunga il centro della terra
> partendo dalla superficie terrestre.

All'interno della Terra, assumendo una densit� uniforme, l'energia
potenziale non va come -1/r, ma come r^2. Quindi, assumendo che la Terra
sia in qualche modo trasparente alla caduta di questo grave che parte da
fermo dalla superficie e arriva al centro, la conservazione dell'energia
direbbe:

Energia totale sulla superficie = - GMm/R
Energia totale a distanza r = 1/2 mv^2 + GMm/(2R^3)*r^2 - 3GMm/(2R)

da cui

1/2 mv^2 = GMm (-1/R - r^2/(2R^3)) + 3GMm/(2R)

dove r � la distanza dal centro e R il raggio della Terra. Per r=0:

1/2 m V^2 = 1/2 GMm/R -> V = sqrt(GMm/R)

salvo errori di calcolo.

>
> Non so che dire... l'energia potenziale sparisce! Da un lato (verso
> l'alto), l'energia potenziale della gravit� tende ad infinito senza
> mai poter raggiungere l'energia cinetica associabile alla velocit� di
> fuga. Dall'altro lato ( verso il basso), l'energia potenziale sparisce
> sul nascere. Non vi sembra che i teoremi energetici siano un bisticcio
> tra zero ed infinito? Tra i due estremi (zero ed infinito), si possono
> costruire compromessi matematici con gli integrali, ma il tutto, non
> mi convince.
>

L'energia potenziale al centro della terra non sparisce, raggiunge
giustamente un minimo ( U(0)= -3GMm/(2R) ), perch� un corpo non pu�
essere attratto ulteriormente dopo aver raggiunto il centro, quindi in
un certo senso ha "esaurito" tutta l'energia potenziale che aveva, non
pu� diminuirla. Inoltre, non tende mai a infinito, perch� la forma che
va come -1/r vale solo per r>R, quindi l'energia non tende a infinito
per r->0, ma alla costante -3GMm/(2R).

Il fatto che cadendo da qualunque distanza, non si riesca ad acquistare
una velocit� sufficiente a superare la velocit� di fuga, � dovuto al
fatto che l'attrazione gravitazionale agisce a qualsiasi distanza,
quindi un sistema di corpi soggetto solo alla gravit� sar� sempre
legato, a meno di non introdurre un'energia dall'esterno. Cio� per
raggiungere una velocit� maggiore di quella di fuga bisogna per forza
dare al corpo che cade una velocit� iniziale.

ciao
-- 
GN/\PPA
"E' meglio accendere una candela che maledire l'oscurit�"
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Received on Wed Aug 20 2008 - 16:56:18 CEST

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