Il 07 Ago 2008, 14:00, Boiler ha scritto:
> Ciao a tutti,
>
> immaginate un campo magnetico omogeneo e costante.
> Adesso trasciniamo due spire con velocit� costante e non relativistica su
> un piano perpendicolare a questo campo.
> Il campo � di superficie limitata, in modo che ad un certo punto le spire
> entrano e poi escono dal campo.
>
> Le spire sono un quadrato di lato z e un cerchio di diametro z.
>
> La domanda �: in quale spira viene indotta la tensione maggiore?
> Secondo due assistenti � uguale perch� sono larghe uguali e quindi l'area
> nel campo magnetico cambier� per ambedue ad un certo punto di (z * dx).
>
> Secondo me il quadrato genera invece una tensione pi� alta.
> Quando il lato entra nel campo si ha un salto, mentre il cerchio genera
> una variazione dell'area lenta.
> Mi chiarite le idee?
Dunque... secondo me hai ragione, ma la cosa andrebbe verificata.
Nel caso di spira quadrata la tensione indotta � valutabile facilmente.
Per la spira tonda che entra nella regione di campo per x occorre calcolare
l'area Ac del segmento circolare
immersa. Questa � data dalla differenza tra area del settore As e area del
triangolo At.
As = (R^2*beta)/2
At = 0.5*(R-x)*L
dove R � il raggio della circonferenza (R=z/2) e beta ll'angolo sotteso
dalla corda L definita da x.
Per il teorema della corda si ha L=2*R*sen(beta/2).
Inoltre occorre esprimere beta in funzione di x. Sempre dal teorema della
corda
R-x = R*cos(beta/2)
per cui
beta = 2*arccos((R-x)/R)
Dunque l'area spazzata �
Ac= As-At= 0.5*(R^2)*beta - 0-5(R-x)*L
ovvero
Ac= (R^2)*arcos( (R-x)/R ) - (R-x)*R*sen( arccos( (R-x)/R ) );
In termini di z=2R:
Ac= (1/4)(z*z)*arcos( (z - 2x)/z ) - (1/2)(z/2 - x)*z*sen( arccos( (z- 2x)/z
) );
Ora (non ricontrollo i passaggi e do' per scontato che non ho fatto errori)
dato che campo B e velocit� v sono fissati e uguali, baster� fare il
confronto delle aree al variare di x.
Questa Ac(x) deve essere confrontata con la funzione Aq(x)= x*z, che � area
quadrato.
Ho fatto un po' di grafici. Qui trovi le due aree in funzione di x (per z
fissata uguale a 1)
http://img50.imageshack.us/img50/1811/area1vn4.gif
dove la retta rossa � riferita all'area del quadrato Aq(x) e quella nera
all'area del cerchio Ac(x).
Nota che Ac � sempre minore di Aq, anche all'end point x=z, dove ovviamente
ho
Ac=pi*(z/2)^2
Aq = z^2
che per z unitaria valgono rispettivamente ~0.78 (per il cerchio) e 1 (per
il quadrato).
Qui � mostrato il rapporto tra le due aree Ac(x)/Aq(x) in funzione di x
http://img353.imageshack.us/img353/5087/area2ug3.gif
Infine le derivata per il quadrato(rosso) e per il cerchio (nero) calcolate
in 200 punti tra 0 e 1:
http://img93.imageshack.us/img93/5977/area3rz0.gif
In sostanza hai ragione, quando il lato entra nel campo si ha un "salto",
mentre il cerchio, come si vede, genera una variazione dell'area pi� lenta.
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Received on Fri Aug 08 2008 - 05:14:07 CEST
