Boiler ha scritto:
> immaginate un campo magnetico omogeneo e costante.
> Adesso trasciniamo due spire con velocit� costante e non
> relativistica su un piano perpendicolare a questo campo.
> Il campo � di superficie limitata, in modo che ad un certo punto le
> spire entrano e poi escono dal campo.
> Le spire sono un quadrato di lato z e un cerchio di diametro z.
> La domanda �: in quale spira viene indotta la tensione maggiore?
> Secondo due assistenti � uguale perch� sono larghe uguali e quindi
> l'area nel campo magnetico cambier� per ambedue ad un certo punto di
> (z * dx).
> Secondo me il quadrato genera invece una tensione pi� alta.
> Quando il lato entra nel campo si ha un salto, mentre il cerchio
> genera una variazione dell'area lenta.
Suppongo che il campo magnetico sia diretto ovunque lungo
l'asse z e abbia intensita' costante:
B_x = B_y = 0
B_z = B se x >= 0
B_z = 0 se x < 0
e suppongo che le spire giacciano nel piano z = 0 e si muovano
con velocita' costante v diretta nel verso positivo dell'asse x, in
modo da attraversare l'asse y al tempo t = 0
(quindi suppongo che una volta immerse completamente nel
campo magnetico le spire non ne escano piu', questo e' lecito
perche' per l'uscita delle spire dal campo le considerazioni
da fare e i risultati ottenuti sarebbero del tutto analoghi a quelli
per l'ingresso, quindi e' sufficiente studiare cosa accade
all'ingresso delle spire nel campo).
Considero separatamente il caso della spira quadrata e di quella circolare:
SPIRA QUADRATA
Suppongo che un lato della spira sia parallelo all'asse y.
Il flusso del campo magnetico attraverso il quadrato al tempo t e':
Phi(t) = 0 se t < 0
Phi(t) = B * z * v * t se 0 <= t <= z / v
Phi(t) = B * z^2 se t > z/v,
la tensione indotta nel quadrato ha quindi una intensita':
V(t) = |dPhi(t)/dt| =>
V(t) = 0 se t < 0
V(t) = B * z * v se 0 < t < z/v
V(t) = 0 se t > z/v
V(t) e' discontinua per t = 0 e t = z/v.
Che significato hanno i due punti di discontinuita' per V(t)?
Fisicamente ci si aspetta che V(t) sia una funzione continua, perche'
il campo B in realta' non avra' una variazione brusca in x = 0 ma
variera' in modo continuo dal valore 0 al valore B, perche' lo
spessore della spira avra' un valore finito e non nullo ecc. ecc.,
quindi in realta' in un intorno di t = 0 la tensione V(t) crescera'
gradualmente dal valore inizialmente nullo fino al valore
B * z * v, e quest'ultimo valore rappresentera' il
valore massimo raggiunto da V(t), analogamente in un
intorno di t = z/v la tensione diminuira' gradualmente dal
valore B * z * v fino ad annullarsi.
SPIRA CIRCOLARE
In questo caso la tensione indotta V(t) e' ancora nulla per t < 0 e per
t > z/v, assume un valore massimo pari a B * z * v al tempo z/(2v) ,
ma a differenza del caso precedente V(t) e' continua ovunque, cio'
si vede facilmente dal fatto che in un intorno destro infinitesimo
di t = 0 l'area della spira immersa nel campo magnetico cresce
come t^(3/2) e quindi la derivata temporale del flusso del campo
magnetico e' nulla in t = 0, V(0) = 0, analoghe considerazioni
si possono fare in un intorno di t = z/v.
CONCLUSIONI
In entrambi i casi la tensione massima indotta vale B * z * v.
Ciao
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Giorgio Bibbiani
Received on Thu Aug 07 2008 - 19:50:44 CEST