Il 04/09/2012, Paperorbifold ha detto :
> Tetis wrote:
>
>> I poliedri possono esser pensati come particolari grafi, per essi �
>> possibile formulare la regola di Eulero che lega facce, vertici e
>> spigoli, ora se spigoli e vertici sono elementi primitivi comuni a
>> tutti i grafi, diversamente le facce sono certamente dei particolari
>> cicli del grafo che non tutti i grafi possiedono. Esiste una
>> definizione topologica delle facce che consente di estenere questa
>> nozione e la regola di Eulero a grafi pi� generali?
>
> Si. In omologia (e coomologia) � possibile definire i numeri di Betti a
> partire dai quali � possibile calcolare la caratteristica di Eulero:
> http://en.wikipedia.org/wiki/Betti_number
Lo so, ma non pensavo a questo. O meglio non necessariamente a questo.
Mi aspettavo questo tipo di risposta ed avevo precisato che mi
interessa una applicazione ai grafi. Grafi per cui si possano definire
i lati, gli spigoli e le facce, ma che siano pi� generali dei grafi
planari e dei grafi poliedro. Pu� darsi per�, non saprei di certo, che
i numeri di Betti abbiano una qualche pertinenza al problema di
partenza.
Il problema di partenza � quello di tradurre il sistema di equazioni
che determina la regola delle fasi di Gibbs in un un grafo che contenga
fasi, molteplicit� delle specie e gradi di libert�. Sono quasi certo
che il sistema vincolare di Gibbs non possa essere tradotto nel grafo
di un poliedro e che sia opportuno immergere queste relazioni in
dimensione maggiore di 3, ma prima mi occorre dare un senso pi�
generale al concetto di faccia. Quasi certamente nel grafo delle
equazioni di Gibbs, che sono catene, ovvero anelli di uguale lunghezza,
di equazioni che coinvolgono le diverse fasi (plausibilmente come
vertici) ed altre catene di equazioni che coinvolgono le diverse
componenti, plausibilmente come lati (o viceversa per qualche dualit�
da esplorare), � possibile definire delle facce (i gradi di libert� del
sistema) che sono legate agli spigoli ed ai vertici dalla relazione di
Eulero. E devono esserci informazioni, ridotte dalle queste equazioni
n*f volte ridondanti, dove n � il numero di componenti ed f il numero
di fasi. Se c'� un nesso con il concetto generale di caratteristica
dovrebbe essere tale da coinvolgere solo un sottoinsieme di tutti i
numeri di Betti. Pu� darsi che la struttura giusta sia una sorta di
cells in dimensione generalmente maggiore di 3 per cui alcuni numeri di
Betti risultano vincolati.
Ma ammetto di essere a corto di idee concrete e con una sovrabbondanza
euristica di fantasia, al riguardo, in questo momento.
Received on Wed Sep 05 2012 - 23:48:26 CEST