Il 14 Giu 2008, 15:52, ileana.bariNOSPAMgelletti_at_fastwebnet.it (ileana) ha
scritto:
> Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it> wrote:
>
> > Mi fermo qui, ma non so se ti sono stato utile o se ho accresciuto la
> > confusione :)
> >
> Sono Fabrizio, volevo ringraziarti della risposta molto soddisfacente
> anche se erano cose che avevo capito dalla semplice figura compreso il
> fatto che la distanza che separa due punti diametralmente opposti � da
> considerarsi infinita e anche in fatto che non esistono rette parallele,
> tutte cose deducibili. Soprattutto volevo sapere se si trattava di un
> discorso alla portata delle mie attuali conoscienze in materia oppure
> no, quindi grazie ancora, ciao.
In effetti questo discorso, affrontato a dovere, deborda
non poco dalle nozioni liceali
ed anche dalla nozione stretta di
sfera di Riemann. La distanza fra punti della sfera di
Riemann semplicemente non viene definita, non perch�
non sia possibile definirla, solo perch� non corrisponde
allo scopo per il quale la struttura fu introdotta da Riemann,
anche dire che si tratti di una sfera � in qualche
modo un retaggio ottocentesco. Il problema � che
descrivere con propriet� gli scopi di Riemann esula
persino da molti corsi universitari.
Se uno tiene alla tradizione deve concedere,
comunque,
che la distanza fra punti diametralmente
opposti della sfera di Riemann � costante,
e che la proiezione sul piano non � altro che una
rappresentazione deformata della sfera medesima.
Si guadagnano anche una serie di fatti geometrici
notevolissimi: la proiezione di un cerchio disegnato sulla
sfera, purch� non passi per il polo di proiezione, � un cerchio
sul piano complesso, le mappe di Moebius trasformano
cerchi in cerchi, la proiezioni di un angolo sulla sfera �
un uguale angolo sul piano, e le mappe di Moebius
conservano gli angoli. Alcuni di questi risultati si possono
conseguire con strumenti elementari e la tesina guadagnerebbe
di certo, tempo permettendo dall'illustrazione di uno di questi,
ad esempio che la proiezione stereografica conserva gli angoli.
Sebbene questi fatti fossero noti gi� nell'ottocento,
il primo ad affrontare nozioni metriche in relazione alla rappresentazione
della retta proiettiva complessa fu Hopf circa 60 anni dopo che Riemann
aveva introdotto la sfera di Riemann. Ma se uno affronta i dettagli
scopre una quantit� di fatti controintuitivi. Ad esempio la distanza
fra punti opposti � uno, ma la proiezione dell'equatore � la circonferenza
unitaria. Ovvero la scala di lunghezza sulla sfera non si accorda con la
scala delle lunghezze del piano immaginario se li pensiamo entrambi
come sottoinsiemi euclidei di R^3.
Per la tesina a parte qualche semplice risultato dimostrato
con l'aiuto del tuo professore propenderei pi� per una impostazione
storica, che su una, impossibile, trattazione tecnica approfondita
dell'argomento, che meriterebbe di certo un trattato :-)))
Spero di non aver contribuito a confondere le idee, ma l'argormento
di per se si presta a gradi di difficolt� vari e notevoli.
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Received on Tue Jun 17 2008 - 20:16:13 CEST