Re: corpi strani che rotolano o penzolano, come fate?

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it>
Date: Mon, 09 Jun 2008 20:29:21 +0200

3p ha scritto:
> Ultimamente sono preso da una domanda sulle equazioni di Lagrange non
> so per quale motivo mi � sorto ora questo dubbio visto che le studiai
> qualcosa come 6/7 anni fa e non le toccai pi�, mai usate.
> ...
> voi nella pratica delle cose le usate per risolvere gli esercizi? Se
> voi cercate le equazioni del moto di un sistema passate per le
> equazioni di Lagrange o usate altre strade pi� standard ma ovviamente
> equivalente? (vedere le forze applicate, usare le leggi di newton,
> ecc.).
Il fatto e' che difficilmente un fisico di oggi si trova a dover
risolvere un problema di meccanica, salvo quando prepara problemi
d'esame :-)

> Faccio un esempio concreto, qualche tempo fa su free.scienza.fisica.it
> qualcuno ha posto il problema di un disco con foro eccentrico che
> rotolava su un piano inclinato (un post che non � stato continuato
> quando elio ha fatto notare che l'accelerazione non era costante).
Gia' :-)

> Mi aspetto un moto un po' "disordinato" anche se probabilmente la
> soluzione del problema � esprimibile per mezzo delle normali funzioni
> trigonometriche
Disordinato proprio no. Che bastino le f. trigonometriche non ne sono
sicuro, ma non ho provato.

> (cosa che ad esempio non avviene con il pendolo doppio, per il quale
> il ricorso a soluzioni numeriche � certamente ben pi� pesante, non
> passando per funzioni "standard").
Per carita', il pendolo doppio e' tutt'altro genere di problema, e
anche le soluzioni numeriche sono assai delicate, trattandosi di un
sistema caotico...

> A prescindere comunque dai metodi per risolverle, mi chiedevo come voi
> avreste proceduto nello scrivere le equazioni differenziali che
> regolano l'evoluzione di un tale sistema
E' un buon esempio.
Certamente si potrebbe ricorrere alle eq. cardinali, ma non sarebbe
tanto semplice.
In questo caso le eq. di Lagrange mostrano tutta la loro potenza: il
problema ha un solo grado di liberta': scegli un'opportuna coordinata
(per es. la posizione del centro del cilindro) e tutto il problema sta
nello scrivere energia cinetica e potenziale in funzione di quella
coordinata (e della sua derivata rispetto a t).
Dopo di che, il resto e' automatico.

Ma anche il doppio pendolo e' un buon esempio: il modo piu' semplice
di scrivere le eq. del moto e' certo mediante le eq. di L. (risolverle
e' un altro affare...).

Un pregio importante delle eq. di L. e' che permettono di ricavare in
modo abbastanza semplice eventuali integrali primi, che sono di
grandissimo aiuto nella soluzione o almeno nella semplificazione del
problema.

Naturalmente c'e' il rovescio della medaglia: le eq. di L. ti tolgono
la comprensione intuitiva di quello che succede, e non ti permettono
di dire niente sulle reazioni vincolari.

Ma debbo dire che il valore delle eq. di L. _oggi_ sta nel fatto che
si applicano a una grandissima classe di sistemi, per cui trovano
impiego (anzi impiego determinante) per es. in tutta la teoria dei
sistemi continui, sia classici che quantistici.
Per fare un solo esempio, quando si dice "modello standard" in
sostanza si tratta d'identificare i campi che entrano in gioco, e poi
scrivere la corretta lagrangiana (in questo caso sara' una "densita'
lagrangiana", ma ora e' inessenziale).

> Avrei un'altra domanda. Quando studiai meccanica razionale riuscii a
> venire a capo del fatto che i sistemi evolvevano rispettando quelle
> equazioni, ma non ho mai capito per quale motivo quelle equazioni sono
> un altro modo di dire che l'azione � estremale.
> ...
> E in particolare mi piacerebbe appunto che qualcuno mi desse un
> riferimento bello e non troppo difficile dove venga spiegato come mai
> se vengono soddisfatte quelle equazioni differenziali, allora si ha
> che l'azione � estremale
E viceversa...

Non e' facile (per me) soddisfare alla tua richiesta.
Le trattazioni "non troppo difficili" di regola lasciano molto a
desiderare dal punto di vista della correttezza matematica, e non di
rado contengono anche errori importanti.
Buoni testi di meccanica, anche italiani, ormai ce ne sono diversi.
Purtroppo sono usciti quando io non avevo piu' occasione di ristudiare
queste cose, e quindi per consigli devi rivolgerti a qualcuno piu'
giovane.
Io conosco soltanto l'Arnol'd, e non lo considererei "non troppo
difficile", soprattutto perche' e' assai stringato. Anche se la
definizione di "difficile" e' sempre relativa :-)
                                                 

-- 
Elio Fabri
Received on Mon Jun 09 2008 - 20:29:21 CEST

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