Il 17 Apr 2008, 08:54, "Giorgio Bibbiani"
<giorgio_bibbianiTOGLI_at_virgilio.it> ha scritto:
> Avevo scritto:
> >Altro mio errore: nella parte finale ho chiamato
> >energia totale E quella che invece e' solo
> >l'energia cinetica totale di traslazione delle molecole
> >del gas, comunque sarebbe bastato imporre piu'
> >semplicemente che:
> >Integrale[1/2 * m * v^2 * n2(v, t) dv, da 0 a +oo] =
> >1/2 * N / 10 * k_B * T2.
>
> E correggo la correzione precedente (evidentemente
> farei meglio a pensare prima di scrivere :-(
>
> Se nella hamiltoniana di una molecola del gas ci sono K
> termini quadratici, allora l'energia totale e':
> E = (K - 1) / 2 * N / 10 * k_B * T +
> Integrale[1/2 * m * v^2 * n2(v, t) dv, da 0 a +oo],
Ok. In particolare il secondo integrale pu� essere, con
ottima approssimazione, riespresso in termini della
distribuzione iniziale come:
1/2 m * < |v_x| ^3 > / <|v_x|> = kT <|y|^3>/<|y|>
qui con <|y|^k> si intende l'integrale gaussiano
adimensionale di ordine k
e diversamente prima della transizione:
1/2 m * < |v_x|^2> / <|1|> = kT <|y|^2> / <|y|>
in particolare I_3 = I_2 = 1/2 = I_1
mentre I_2 = 1/ 4 e quindi la prima espressione vale
kT
donde: E = (K+1)/2 * N / 10 * k_B * T.
mentre la seconda vale
1/2 ( kT)
in modo che l'energia complessiva del gas �:
N K/2 * N * k_B * T.
risultato noto come teorema classico di equipartizione, nelle
cui ipotesi rientra l'omogeneit� della funzione di Hamilton
rispetto alle coordinate generalizzate, e che � quello a cui
hai fatto riferimento. La dizione classico sta a distinguerlo
dalla generalizzazione hamiltoniana che risale a Tolman secondo
cui sotto ipotesi di mixing e per qualsiasi hamiltoniana vale:
< q_i dH/dq_i > = kT per ogni coordinata generalizzata, in particolare
il teorema classico si deduce come il sottocaso per cui q_i � un
impulso e :
H(q_1, ... q_2n ) = k1 q_1^2 + ... + kn q_n^2 + V(q_n+1,... q_2n)
> e si impone che all'equilibrio valga:
> E = K / 2 * N / 10 * k_B * T2.
Da cui:
T_2 = (K+1)/K.
> Spero che sia giusto adesso... :-)
Si. Ho anche cercato precedenti in letteratura in questi due
giorni. Ho visto che se qualcuno � abbastanza veloce pu� pubblicare
questo, che � un risultato relativamente inedito. Un precedente lavoro
sull'argomento risale agli albori dell'ingegneria aerospaziale in
associazione al problema del surriscaldamento da ricircolo, in
cui si verifica un fenomeno analogo ma per una frazione molto pi�
piccola, ma continuamente alimentata, di particelle: in particolare si
tratta di quelle particelle combuste in un motore a reazione, che sono
abbastanza veloci da fare in tempo ad andarsi ad accumulare nelle
pieghe del reattore senza essere spazzate via dal flusso, in quel caso
le temperatura raggiunte possono essere molto pi� elevate.
Il caso particolare, invece, forse di scarso interesse, non era stato
trattato
e da quel che vedo la densit� non � descritta dalle equazioni differenziali
studiate negli anni settanta per il problema analogo del flusso nel vuoto.
Magari provo a sottoporlo io stesso, che rivista potrebbe riceverlo?
> Ciao
> --
> Giorgio Bibbiani
>
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Received on Fri Apr 18 2008 - 19:09:56 CEST