Re: descrizione esperimento torricelli [lungo]

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it>
Date: Tue, 01 Apr 2008 20:58:54 +0200

Zermelo ha scritto:
> Domanda: come si dimostra che (per semplicit�, in assenza di tensione
> di vapore saturo del mercurio) la pressione presente in un punto della
> superficie di interfaccia aria/mercurio-in-recipiente � la stessa in
> un qualsiasi altro punto del mercurio, compreso un punto
> all'interfaccia mercurio/vuoto-nel-tubo (considero come unico sistema
> il mercurio nel tubo e quello nel recipiente ) ?
>
> La mia vera domanda �: con la seguente "AUTORISPOSTA " sono sulla
> buona strada? Se s�, come si conclude il ragionamento?
Guarda, l'unico modo che vedo di risponderti e' di esporre
tutto l'argomento da capo, anche se velocemente.
Purtroppo si tratta di materia che anche se elementare raramente viene
trattata in modo pulito...

Dal punto di vista del fisico, occorre ricavare da fatti sperimentali
qualche proprieta' del sistema di cui ci si occupa; nel nostro caso un
cosiddetto "fluido" (che puo' essere tipicamente un liquido o un gas).
Inoltre siamo interessati (per fortuna!) soltanto alla _statica_, ossia
alle condizioni di equilibrio.
Bisogna dunque caratterizzare da questo punto di vista le proprieta'
meccaniche di un fluido, e si procede cosi'.

Si assume di separare idealmente due parti A e B del fluido, mediante
una qualche superficie S, e si studiano le forze che esistono tra
queste due parti.
Nelle condizioni semplici (che escludono casi "strani", come per es.
fluidi dotati di carica elettrica) si vede che tali forze si
manifestano esclusivamente sulla superficie S, ossia sono forze _di
contatto_.
Si vede poi che per ogni elemento dS di tale superficie, la forza che
A esercita su B e' *sempre normale* a dS, e lo stesso ovviamente
quella che B esercita su A (terzo principio).
Il fatto che la forza sia di contatto e ripartita sulla superficie,
porta naturalmente a introdurre un coeff. di proporzionalita' tra
forza e superficie, allo stesso modo di come si fa in casi analoghi,
per es. massa e volume.
Tale coeff. di prop. lo chiamiamo provvisoriamente "pressione".
Va da se' che non c'e' nessun obbligo che la pressione sia la stessa
in tutti i punti della superficie, cosi' come non c'e' obbligo che la
densita' sia la stessa in ogni parte di un corpo...

Ora un punto molto importante: si puo' dimostrare su basi puramente
teoriche che nelle condizioni dette, se alla superficie S che passa
per un certo punto P sostituiamo una nuova superficie S',
_diversamente orientata_, il suddetto coeff. di proporz. *resta lo
stesso*. Ossia dipende dal punto del fluido, ma non dalla superficie
scelta.
Si tratta quindi di una proprieta' *del fluido in se'*, e non della
separazione (del resto ideale) che avevano eseguita.
(La dimostrazione si puo' fare in piu' modi, ma nessuno semplice da
spiegare in un post... Se preferisci, puoi prendere anche questo come
fatto sperimentale.)

A questo punto dunque lo stato delle forze presenti in un fluido e'
completamente determinato dal *campo delle pressioni*, che e' un campo
*scalare*, eventualmente variabile da punto a punto, come ho gia'
detto.
Incidentalmente, se il punto in esame non e' interno al fluido, ma sta
sulla sua superficie di separazione da qualche altro oggetto (per es.
una parete) non cambia niente: la pressione e' ancora tutta
l'informazione necessaria per calcolare tutte le forze che agiscono
tra il fluido e il resto del mondo, finche' si continua ad assumere
che tali forze siano soltanto _forze di contatto_. Ma su questo
dovremo tornare.

Ora dobbiamo affrontare un altro problema: la condizione di equilibrio
ci permette di dire qualcosa sulla pressione nei diversi punti del
fluido?
Cominciamo col considerare il caso semplice in cui non ci sono altre
forze.
Per es. puoi pensare a una bombola piena di gas compresso e situata
nello spazio, fuori di ogni campo gravitazionale.

Allora la risposta e' molto semplice: la pressione e' *la stessa* in
tutto il fluido.

Dimostrazione: prendi due punti P e Q. Pensa un cilindretto con le basi
in P e in Q, e di sezione elementare (infinitesima? :-) ).
Per ipotesi il fluido e' in equilibrio, quindi la risultante delle
forze agenti sul fluido interno al cilindretto e' nulla.
Le forze sulla superficie laterale sono ortogonali all'asse; se ci
occupiamo solo delle forze parallele all'asse, possiamo trascurarle.
Le sole forze parallele all'asse sono quelle agenti sulle due basi,
che quindi debbono essere uguali, a parte il verso. CVD

Dato che abbiamo scelto i due punti a piacere, il teorema e'
dimostrato.

Ora passiamo al caso piu' interessante: che esistano forze diverse da
quelle di contatto. In pratica la sola forza di questo genere che
occorre considerare e' la gravita'.
Pensiamo percio' alla solita bombola, ma questa volta sulla Terra.
Oppure pensiamo al tuo barometro, oppure all'intera atmosfera
terrestre (che pero' non e' certo in equilibrio...).

Se prendiamo i due punti P e Q su uno stesso piano orizzontale, non
cambia niente nel discorso di prima, perche' la gravita' che agisce
sul fluido interno al cilindro e' ancora ortogonale all'asse.
Dunque: anche in presenza di gravita', la presisone e' la stessa in
punti su uno stesso piano orizzontale.

Se vogliamo considerare punti a diversa quota, possiamo limitarci a
prenderli su una stessa verticale; allora il cilindretto ha asse
verticale, e stavolta non possiamo dimenticare la gravita'.
Sia p1 la pressione in P, p2 quella in Q, e supponiamo Q piu' in alto
di P; sia h il loro dislivello.
Il peso del fluido nel cilindretto e' rho*g*h*dS; le due forze di
pressione in P e in Q sono p1*dS, p2*dS.
Se consideri i versi delle forze, arrivi subito a:

p1 = p2 + rho*g*h (legge di Stevino).

Questo e' tutto (quasi...).

Il "quasi" deriva dal fatto che nel ragionamento sono state fatte due
tacite ipotesi: che il campo gravitazionale nella regione occupata dal
fluido possa essere considerato *uniforme*, e che il fluido abbia
*densita' costante*.
Altrimenti non avrei potuto scrivere rho*g*h*dS per il peso.
Entrambe le ipotesi sono certo valide per la bombola, ma la seconda
non lo e' certo per l'atmosfera...
E nessuna delle due vale dentro una stella.

Ma penso di aver scritto abbastanza, e che la generalizzazione dei
risultati quando le ipotesi di uniformita' non valgono, posso
lasciarla da parte ;-)
                

-- 
Elio Fabri
Received on Tue Apr 01 2008 - 20:58:54 CEST

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