Ciao, certo che hai un nickname veramente allegro...
On Mar 17, 11:56 pm, Imago Mortis <mecccanicaquantost..._at_gmail.com>
wrote:
> --- INTERROGATIVO ---------------
> La regola dice che la somma va intesa su indici ripetuti, qualunque ne
> sia la natura,
> o va presa solo se uno dei due e' controvariante e l'altro covariante ??
>
e' vera la seconda che hai detto.
> --- PREOBLEMATICA ---------------
> Alcuni testi di algebra (multi)lineare legano la posizione degli indici
> alla regola della
> gallina:
> "La gallina e' una animale BASSO che COVA le uova e fa COcode'"
> quindi un indice in _BASSO_ e' _COVA_riante e di _CO_lonna.
>
> Ma davvero non so se la cosa abbia senso: la posizione di un indice
> dovrebbe essere dettata dalle sue proprieta' di trasformazione, non
> da una convenzione tipografica sulla rappresentazione tabulare
> bidimensionale (ove esista) delle componenti dell'oggetto.
>
la posizione dell'indice e' relativa alle "proprieta' di
trasformazione" e basta.
Lascia pure perdere la spiegazione della gallina sul pollaio degli
indici...
> --- ESEMPIO ---------------
> Ad esempio, se considero una forma bilineare su uno spazio vettoriale V
> di dimensione finita n, fissata una base, rimangono determinate n^2
> componenti della forma nella base naturale nello spazio dei tensori
> covarianti di rango 2 su V. Cioe' ho due indici entrambi di covarianza.
>
> L'azione della forma phi e' rappresentata da
> phi(u,v) = (u^h)(v^k)(phi_hk). Tutto Ok.
>
si
> Ma se desidero a tuti i costi evocare la 'matrice rappresentativa' della
> forma
> in detta base uno dei due indici deve per forza essere deportato in alto
> per essere di riga ed avrei
> phi(u,v) = (u^h)(v^k)(phi_h^k). E non va bene a meno che non si intenda
> la convenzione di somma estesa ad indici ripetuti di poisione arbitraria.
quello che hai scritto non ha, in generale, senso: una forma
quadratica e' una forma quadratica, e' un tensore
doppio simmetrico covariante, non e' un operatore (che e' invece un
tensore doppio misto). Stai parlando di due cose diverse senza alvuna
relazione in generale.
Se assumi l'esistenza di un prodotto scalare (anche non definito
positivo, ma non degenere),
quello che hai scritto potrebbe aver senso (ma non lo ha *come* lo
hai scritto),
a causa dell'isomorfismo naturale che nasce tra lo spazio ed il suo
duale...
>
> --- CONCLUDENDO ---------------
> Mi pare ragionevole "fare le cose per bene" attenendosi alla regola
> della somma su indici di natura diversa e disattendendo le norme
> "tipografiche". Mi confortate in questa conclusione o pensate che stia
> sbagliando ?
>
non stai sbagliando...
> --- PREOCCUPANDOSI PER L'AVVERNIRE ---------------
> Potreste, per farvore darmi indicazioni sulle difficolta' citate nella frase
>
> "The notation was introduced by Roger Penrose as a way to use the formal
> aspects
> of the Einstein summation convention in order to compensate for the
> difficulty
> in describing contractions and covariant differentiation in modern
> abstract tensor
> notation, while preserving the explicit covariance of the expressions
> involved."
>
> tratta da:http://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_index_notation?
>
senti, perche' non dai un'occhiata alle mie dispense, le seconde che
trovi
partendo dall'alto, alla pagina web:
http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dip. Matematica - Univ. Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Tue Mar 18 2008 - 09:39:17 CET