"Akire" ha scritto:
> Nella legge della dilatazione termica lineare (per esempio per una sbarra)
> la lunghezza finale, a seguito di una variazione di temperatura, dipende
> dalla lunghezza iniziale e molti libri assumono, come riferimento, la
> lunghezza a zero gradi centigradi. Pertanto in problemi del tipo: "una
> sottile sbarra di ferro misura 1,25 m alla temp. di 20 C. Calcolare la sua
> lunghezza alla temperatura di 65 C"
> i libri citati calcolano prima la lunghezza a 0 C e poi la lunghezza a 65
> C. Altri libri, invece, calcolano la lunghezza finale scegliendo come
> riferimento la lunghezza a 20 C e nella legge sostituiscono la variazione
> di temperatura da 20 65 C. Intuisco che � la stessa cosa, ma i risultati
> sono diversi. Perci� chiedo quale procedimento � pi� corretto e perch�.
> Spero di essere stata chiara.
Chiarissima :-)
Suppongo che il valore del coefficiente di dilatazione termica
lineare sia quello misurato a 0 �C (naturalmente, se nel primo
caso il coefficiente fosse quello misurato a 0 �C e nel secondo
fosse quello misurato a 20 �C, la ragione dei due diversi
metodi sarebbe ovvia).
Il procedimento formalmente corretto e' il primo, pero' da un
punto di vista pratico non c'e' differenza tra i due metodi.
Supponiamo che la forma della legge di dilatazione termica sia:
l = l_0 * (1 + a * t),
ove l_0 e' la lunghezza alla temperatura di 0 �C, l la lunghezza
alla temperatura t, a il coefficiente di dilatazione termica lineare.
Per l'esempio sopra si ottiene per la lunghezza l_20 a 20 �C
e per la lunghezza l_65 a 65 �C:
l_20 = l_0 * (1 + a * 20 �C) =>
l_0 = l_20 / (1 + a * 20 �C) =>
(1) l_65 = l_20 / (1 + a * 20 �C) * (1 + a * 65 �C).
Se avessimo ingenuamente ricavato l_65 a partire da l_20
e dalla variazione di temperatura deltat = (65 - 20 ) �C,
avremmo invece ottenuto:
(2) l_65 = l_20 * (1 + a * 45 �C).
Nel limite in cui si ha a * t << 1, i due risultati sono equivalenti,
infatti sviluppando in serie la (1) si ha:
l_65 = l_20 / (1 + a * 20 �C) * (1 + a * 65 �C) ~=
l_20 * (1 - a * 20 �C) * (1 + a * 65 �C) ~=
l_20 * (1 + a * 45 �C),
che e' il risultato ottenuto con la formula "ingenua" (2).
Proviamo a mettere i numeri dell'esempio sopra,
per il ferro si ha a = 1.2 * 10^-7 / K, dalla (1) si ottiene:
l_65 = 1.25000675 m,
dalla (2) si ottiene:
l_65 = 1.25000675 m,
e i due risultati coincidono a questo livello di precisione.
Nel caso invece in cui la variazione di temperatura sia
tanto grande da determinare una differenza sensibile
tra i due metodi di calcolo, allora probabilimente
bisognera' anche considerare il fatto che il coefficiente
di dilatazione termica lineare non e' realmente
costante su tutto l'intervallo di temperature, e per
avere un risultato corretto bisognera' sapere come
a = dl/dt, varia al variare della temperatura.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Received on Fri Mar 14 2008 - 08:14:12 CET