Re: Geometria - Rotazioni spaziali

From: argo <brandobellazzini_at_supereva.it>
Date: Wed, 5 Mar 2008 01:13:04 -0800 (PST)

On 25 Feb, 17:17, ma..._at_mar.ra (marrras) wrote:
[...]
> Poi eseguiamo,
> nell'ordine, le seguenti rotazioni:
> 1) Prima, ruotiamo questo corpo attorno all'asse z (o Z, � uguale) di un
> angolo Alpha (rotaz positiva: X verso Y).

Detto v un generico asse del corpo rigido, expresso nelle coordinare
del sistema XYZ,
avrai che la prima rotazione lo manda in

R[z](Alpha)v dove R[z](Alpha) e' la rotazione intorno all'asse
z=(0,0,1) di angolo Alpha.

> 2) Poi, ruotiamolo ancora di angolo Beta attorno al *suo* asse y (che ora
> non coincide con Y) (r.p.: Z verso Y).

Ora l'asse di rotazione e' l'y trasformato dalla prima trasformazione
cioe'
y'=R[z](Alpha)y dove con y intendo il versore (0,1,0) nel sistema XYZ,
quindi
si ottiene (nota che ho preso y normalizzato ad uno e le rotazioni non
cambiano le lunghezze)

R[y'](Beta)*R[z](Alpha)v con y'=R[z](Alpha)y=(-sin[Aplha],cos[Alpha],
0)

> 3) Infine, ruotiamolo di angolo Phi attorno al *suo* asse x, in senso Y
> verso Z.
Ora ruoti di Phi intorno al nuovo asse x cioe' intorno a
x''=R[y'](Beta)*R[z](Alpha)x con x=(1,0,0), quindi alla fine avrai
che il generico vettore v e' andato in

R[x''](Phi)*R[y'](Beta)*R[z](Alpha)v

ovvero in

R[R[R[z](Alpha)y](Beta)*R[z](Alpha)x](Phi)*R[R[z](Alpha)y](Beta)*R[z]
(Alpha)v

> Eseguite queste tre rotazioni nell'ordine descritto, vorrei sapere come �
> legata la nuova orientazione (xyz) rispetto a XYZ.

L'ho scritta sopra ma e' piuttosto implicita, dovresti metterci le
espressioni esplicite per la forma delle rotazioni.

> Ad esempio, qual � l'angolo finale risultante tra la direzione di Z e quella
> di z?

se nella formula sopra prendi v=z=(0,0,1) avrai che la prima rotazione
lo lascia invariato z'=z,
mentre y va in
y'=R[z](Alpha)y=(-sin[Alpha],cos[Alpha],0)
e x va in
x'=R[z](Alpha)x=(cos[Alpha],sin[Alpha],0).
La seconda rotazione, e' intorno a y' (dunque y''=y) e dunque manda z
in

z''=sin[Beta]x'+cos[Beta]z'=(sin[Beta]cos[Alpha],sin[Beta]sin[Alpha],cos[Beta])

e x' in

x''=cos[Beta]x'-sin[Beta]z'=(cos[Beta]cos[Alpha],Cos[Beta]sin[Alpha],-
Sin[Beta]).

Infine la terza rotazione e' intorno a x'' di Phi, quindi

x'''=x''=(cos[Beta]cos[Alpha],Cos[Beta]sin[Alpha],-Sin[Beta])

y'''=cos[Phi]y''+sin[Phi]z''=(-cos[Phi]sin[Alpha]
+sin[Phi]sin[Beta]cos[Alpha],cos[Phi]cos[Alpha]
+sin[Phi]sin[Beta]sin[Alpha],sin[Phi]cos[Beta])

z'''=cos[Phi]z''-sin[Phi]y''=(cos[Phi]sin[Beta]cos[Alpha]-
sin[Phi]sin[Alpha],cos[Phi]sin[Beta]sin[Alpha]-
sin[Phi]cos[Alpha],cos[Phi]cos[Beta])

dunque z''' con Z forma un angolo Theta_z tale che

sin[Theta_z]=cos[Phi]cos[Beta].

E' piu' semplice esprimere l'angolo Theta_x tra x''' e Z infatti
risulta che

sin[Theta_x]=-sin[Beta] da cui Theta_x=-Beta

> E per gli altri assi?
direi che tocca a te...
a parte gli scherzi controlla quello che ho scritto perche' l'ho fatto
direttamente alla tastiera, quindi puo' essere ricco di errori.
ciao
Received on Wed Mar 05 2008 - 10:13:04 CET