Re: problema due corpi

From: calmeplat <giovanni.m.cappello_at_gmail.com>
Date: Wed, 30 Jan 2008 09:35:32 -0800 (PST)

On Jan 28, 8:37�pm, "Giorgio Bibbiani"
<giorgio_bibbianiTO..._at_virgilio.it> wrote:
> "calmeplat" ha scritto:
>
> > mi chiedo, nell'ambito del problema dei due corpi (puntiformi), se
> > questi hanno masse m1 ed m2 e sono posti inizialmente a distanza Ro e
> > con velocit� iniziali nulle, in quanto tempo giungeranno a
> > 'collidere' ?
>
> Suppongo che tu voglia trattare un problema di gravitazione...
>
> La terza legge di Keplero si esprime con l'equazione matematica:
> G * M = omega^2 * R^3, ove
> G e' la costante gravitazionale, M = m1 + m2,
> omega = 2 * Pi / T, T e' il periodo del moto,
> R^3 il semiasse maggiore dell'orbita ellittica.
>
> Il caso del problema e' quello limite di uno stato legato in
> cui la traiettoria del moto si puo approssimare con una ellisse
> di eccentricita' tendente a 1- e parametro tendente a 0+,
> avente asse maggiore pari a Ro, e possiamo
> ancora applicare la terza legge di Keplero,
> il tempo di collisione risulta quindi meta' del periodo T:
> t_collisione = T /2 = Pi * Sqrt(R^3 / G / M) > Pi * Sqrt(Ro^3 / 8 / G / M).
>
> Un modo equivalente di risolvere il problema e' applicare
> la conservazione dell'energia meccanica,
> innanzitutto si riduce il problema a due corpi ad un
> problema a un corpo, introducendo la massa ridotta
> mu = m1 * m2 / (m1 + m2),
> l'energia meccanica e' la somma della energia cinetica
> 1/2 * mu * v^2, e dell'energia potenziale -G * m1 * m2 / r,
> e ha valore costante uguale al valore iniziale -G * m1 * m2 / Ro,
> quindi si ottiene:
> -G * m1 * m2 / Ro = -G * m1 * m2 / r + 1/2 * mu * v^2,
> isolando v si ottiene poi:
> v = -dr/dt = Sqrt(2 * G * (1/r - 1/Ro) * M) �=>
> t_collisione > Integrale[(2 * G * (1/r - 1/Ro) * M)^-(1/2) dr, da 0 a Ro]
> e si ottiene con un po' di pazienza lo stesso risultato di cui sopra.
>
> Ciao
> --
> Giorgio Bibbiani
In effetti il calcolo dell'integrale conferma il risultato ottenuto
con la terza legge di keplero, e permette di conoscere t in funzione
di r ( r compreso tra 0 ed Ro):


t(r) = Integrale [(2 * G * (1/r - 1/Ro) * M)^-(1/2) dr, da 0 a
Ro] = ( 2 G M )^-(1/2) Integrale [(1/r - 1/Ro)^-(1/2)
dr, da 0 a Ro]

     = (Ro / ( 2GM) )^1/2 Integrale [ - ( ( 1- r/Ro ) / (r/
Ro) )^1/2 dr, da = a Ro ]


Scegliamo di porre z = r /Ro => dr = Ro dz, otteniamo:

Integrale [ - ( ( 1- r/Ro ) / (r/Ro) )^1/2 dr, da = a Ro ] Integrale [ -Ro ((1-z)/z )^1/2 dz, da 1 a z=r/Ro) ]


Ponendo poi z = (cos s)^2 => dz= -2 sen s cos s avremo:

Integrale [ -Ro ((1-z)/z )^1/2 dz, da 1 a z=r/Ro) ] = Ro
Integrale [ (cos s )^2 ds, da 0 a t = arcos (sqrt (r/Ro) ) ]

Essendo s + sen s cos s una primitiva di ( cos
s )^2

alla fine si ottiene:


t(r) = sqrt ( Ro^3/ 2GM ) (arcos (sqrt (r/Ro) ) + sqrt (r/Ro) sqrt (1-
r/Ro)

quando r = 0 (cio� i due corpi giungono a collidere)

t(r) = ( pigreco/2 ) sqrt ( Ro^3/ (2GM) )


Grazie per le risposte che mi avete fornito!

ciao
Received on Wed Jan 30 2008 - 18:35:32 CET