Pare non sia apparsa la mia risposta: la riscrivo.
On 10 Gen, 12:25, alemac <alexmac..._at_yahoo.it> wrote:
> Ciao a tutti..sono uno studente di ingegneria e ho alcuni dubbi sulle
ipotesi che devono essere assunte per arrivare all'equazione del moto
dei flussi conici.
>
> Praticamente il mio problema riguarda la condizione di
irrotazionalit� e la relazione che lega appunto l'irrotazionalit� al
potenziale.
Ciao, alemac,
non so se sei ancora interessato alla risposta :-) comunque il legame
� molto semplice. Se il campo di velocit� V ammette un potenziale
scalare phi, allora � irrotazionale:
1) V = grad(phi) =>
2) rot(grad(phi) = 0
poich� il rotore di un gradiente � sempre nullo. Per verificarlo,
scrivi esplicitamente l'espressione 2) ed applica il teorema di
Schwartz sull'uguaglianza delle derivate seconde miste di una funzione
(cio� _at_^2phi/_at_y@z-@^2phi/_at_z@y = 0,
_at_^2phi/_at_x@z-@^2phi/_at_z@x = 0, @^2phi/_at_y@x-@^2phi/_at_x@y = 0).
Viceversa, se V � irrotazionale, allora la circuitazione di V attorno
ad un circuito che si possa restringere ad un punto senza uscire dal
dominio del flusso � 0 (teorema di Stokes). Quindi l'integrale di
linea di V su due curve diverse ma aventi origine e fine in comune �
uguale, ergo non dipende dal percorso ma solo da punto iniziale e
finale. Quindi si pu� scrivere come la differenza fra A e B del valore
di una funzione scalare, appunto il potenziale di V. E' facile
dimostrare, scrivendo l'espressione del "lavoro" di V su un trattino
di curva infinitesimo, che grad(V)=phi. Poich� di solito il dominio di
definizione di V non � semplicemente connesso, cio� esistono circuiti
chiusi che non possono essere ridotti con continuit� ad un punto senza
uscire dal dominio (pensa al moto attorno a un cilindro), il discorso
in realt� � pi� complesso ma l'idea � questa.
>
> Le ipotesi fatte sul fluido sono:
>
> -stazionario
> -adiabatico
> -viscoso
> -comprimibile
>
> e successivamente viene detto che il flusso pu� essere considerato
irrotazionale! Ma mi manca questo passaggio.
> In teoria se il fluido � viscoso e comprimibile ho la condizione di
irrotazionalit� solo molto lontatano dalle pareti solide.
Sei sicuro che fra le ipotesi ci sia quella di fluido viscoso? Hai
chiesto al tuo professore? Dovrebbe essere il contrario: se il flusso
�
-stazionario
-adiabatico
-*non* viscoso
-omogeneo
-origina da condizioni uniformi
allora per l'equazione di conservazione dell'energia � omoentalpico, e
per l'equazione di bilancio dell'entropia � omoentropico. Da qui, per
il teorema di Crocco, risulta essere anche irrotazionale, quindi
dotato di un potenziale.
>
> .e da quello che ho capito per avere sempre la condizione di
irrotazionalit� devo introdurre il potenziale..e una certa condizione
al
contorno di no-slip che ho trovato leggendo in una discussione su
questo
forum...che � la seguente:
No, � il contrario. Se c'� la condizione di no-slip allora il moto
non
ammette quasi mai potenziale.
> ^Se esistono pareti solide rot(v) � sempre diverso da 0 a meno che
la
> ^soluzione a potenziale non soddisfi la condizione al contorno di no-
> ^slip (fisicamente, le pareti solide dovrebbero muoversi esattamente
> ^alla velocit� che il fluido avrebbe se fosse ideale). In tal caso
la
> ^soluzione a potenziale, soddisfando sia le equazioni di NS che le
> ^condizioni al contorno, � (almeno una) soluzione del problema.
>
> Qualcuno mi sa spiegare? Grazie
Quello che volevo dire � questo: se il flusso � viscoso, allora
sperimentalmente si vede che vale la condizione di no-slip (niente
slittamento) sulle pareti solide, cio� la velocit� del fluido e
quella
della parete devono essere uguali. Se la parete � ferma, allora qui si
annulla sia la componente di V normale alla parete, che quella
tangenziale. Questo vuol dire che il flusso non pu� essere
irrotazionale: difatti se lo fosse ammetterebbe un potenziale, ma
dalla teoria dei potenziali si sa che affinch� l'equazione
differenziale del potenziale ammetta soluzione unica, puoi imporre
solo una condizione al contorno, e non due. In particolare, si
dimostra che puoi imporre che la componente di velocit� normale alla
parete sia 0 (l'aria non pu� scomparire dentro il corpo!), ma la
componente di velocit� tangenziale non pu� essere assegnata: essa
verr� fuori dalla soluzione dell'equazione del potenziale, e potrebbe
essere diversa da 0, cio� ci potrebbe essere slip = slittamento. Visto
che sappiamo che nella realt� tale componente � 0, questo vuol dire
che il flusso non pu� ammettere un potenziale vicino al corpo, cio�
non pu� essere irrotazionale.
C'� una sola eccezione, a cui mi riferivo, ma � un caso quasi
puramente teorico, non reale...se la componente di velocit�
tangenziale che viene fuori dalla soluzione dell'equazione del
potenziale fosse proprio pari a quella delle pareti solide, allora la
soluzione a potenziale soddisferebbe sia le equazioni del moto
viscoso, dette di Navier-Stokes o NS (questo si dimostra), che le
condizioni al contorno, e perci� sarebbe effettivamente la soluzione
reale. Ma questo � l'unico caso: in generale la condizione di no-slip,
che vale per i flussi viscosi, impedisce che il flusso sia
irrotazionale.
Spero di essere stato pi� chiaro, stavolta.
Ciao,
deltaquattro
Received on Tue Jan 29 2008 - 13:31:23 CET