Re: Moto di 3 corpi

From: Enrico SMARGIASSI <smargiassi_at_ts.infn.it>
Date: Sun, 03 Feb 2008 16:02:50 +0100

Godel wrote:

> problemi di questo tipo oppure si puo' dimostrare a priori
> che non e' possibile, neanche con una matematica aliena,
> conoscere esattamente, ad ogni istante (supponendo
> valide le eq. della meccanica classica), posizioni e
> velocita' dei pianeti?

Intanto devi notare che tramite calcolo numerico siamo gia' in grado di
calcolare "esattamente" le posizioni dei pianeti: basta calcolare
abbastanza a lungo (quel "basta" puo' significare pero' un bel po' di
sforzo, esponenzialmente grande in quanto il sistema e' caotico. Dal
punto di vista del principio, pero', c'e' poca differenza). Certo, le
soluzioni cosi' ottenute soffrono di una ineliminabile incertezza: pero'
attenzione, lo stesso vale anche per una soluzione del tipo y=sen(x).
Infatti, come fai a sapere qual e' il valore di sen(x) dato x? A meno di
casi paricolarisssssimi, solo col calcolo numerico! Dunque l'esattezza
delle soluzioni analitiche e' in buona parte illusoria.

~Riguardo alla domanda: che io sappia, dal teorema di Poincare' segue
l'impossibilita' di ottenere la soluzione del problema dei tre corpi in
forma analitica, quindi nemmeno un alieno potrebbe risolverlo
analiticamente.

Pero' attenzione: demistifichiamo ulteriormente questa faccenda della
"soluzione analitica". Si tratta di un concetto essenzialmente
arbitrario e convenzionale: vuol dire "soluzione formata da una
combinazione finita di funzioni elementari". E cosa sono le funzioni
elementari? Un insieme di funzioni (polinomi, potenze, logaritmi,
esponenziali, funzioni trigonometriche dirette ed inverse) che si e'
convenuto di chiamare elementari perche' sono particolarmente comuni e
ci sono familiari. Cambiando questo insieme - cosa legittima, perche'
non esistono ragioni matematiche particolari perche' sia quello e non
altro - cambiamo anche l'insieme delle equazioni "risolvibili
analiticamente".

P.es. la funzione di Gauss exp(-x^2) non ammette primitiva analitica, ma
possiamo benissimo introdurre una funzione - solitamente chiamata
"funzione d'errore" e indicata con il simbolo erf(x) - *definita* come
la primitiva della f. di G., la quale diventa ipso facto integrabile
analiticamente. Analogamente potremmo definire una "funzione di
Smargiassi" S(x) definita come la funzione "soluzione del problema dei
tre corpi". Il problema diventerebbe solubile analiticamente, ma e'
ovvio che non avremmo guadagnato nulla.
Received on Sun Feb 03 2008 - 16:02:50 CET