Valter Moretti ha scritto:
> ...
> L'unica cosa che mi viene in mente e' vedere di trascrivere tutto in
> trasformata di Fourier e vedere cosa succede...
Ho riguardato gli appunti di cui avevo parlato, e ora cerco di dare
maggiori informazioni.
Purtroppo ho dei problemi con l'OCR, e quindi non potro' metterli in
rete tanto presto.
Intanto chiarisco che il contesto era quello delle rappr. del gruppo
di Poincare'.
Lo spazio di rappresentazione dovrebbe essere (credo) un L^2(R^3):
vediamo perche'.
Il GdP ha come invariante P^\mu P_\mu, quindi comincio col considerare
campi vettoriali che soddisfano l'eq. di Klein-Gordon con una data
massa.
Facendo la trasf. di Fourier hai che di fatto il campo dipende da tre
variabili (le comp. spaziali del'impulso) e puoi definire un metrica
def. positiva: ecco quindi L^2(R^3) come dicevo.
Se m>0 non ci sono problemi: la rappr. cosi' costruita e'
completamente riducibile, grazie al secondo invariante W^\mu W_\mu,
legato allo spin.
In questo caso credo che la decomposizione di cui parli funzioni.
Tutto diverso se m=0. In questo caso l'invariante addizionale e'
l'elicita', la rappr. non e' compl. riducibile, bisogna operare per
quozienti, quindi mi aspetto che la decomposizione di Hodge non si
applichi, ma non so perche'.
Queste cose a suo tempo le avevo imparate dal libro di Kastler:
"Introduction a' l'electrodinamique quantique", mi pare.
Nota che c'e' da aspettarsi una non completa riducibilita', visto che
si tratta di gruppi non compatti.
A rigore il teorema va nell'altro verso: gr. compatto --> rappr.
compl. riducibili; ma sai come sono queste cose...
E forse c'e' anche il teorema inverso?
> Appena ho tempo cerco di calcolare il laplaciano di Hodge per le 1-
> forme e te lo posto...
Ma io mi accontenerei della definizione esatta: ti avevo prospettato 4
alternative, qual e' la giusta?
--
Elio Fabri
Received on Thu Jan 24 2008 - 20:55:16 CET