Il 13 Gen 2008, 13:19, Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com> ha scritto:
> On 9 Gen, 12:11, Scarabeo <lapllapazzachestrumpalla..._at_yahoo.com>
> wrote:
> > Ciao a tutti,
> > c'� qualcuno che potrebbe spiegarmi che la definizione matematica di
> > questo concetto. Ho provato a cercare in rete, ma le spiegazioni
> > proposte mi sembrano confuse. Insomma dati H1 e H2 (Hilbert, di
> > dimensione n e m rispettivamente) "H1 tensor H2" viene definito in
> > termini di "v tensor w" dove v e m appartengono rispettivamente a H1 e
> > H2. Ma "v tensor w" come vengono definiti in termini delle strutture
> > H1 e H2 originarie? Insomma, "v tensor w" e' o non e' la coppia
> > ordinata (v,w) appartenente a H1xH2.
In dimensione finita L(H1,H2) � lo spazio vettoriale delle
forme bilineari ed ha una base isomorfa alle coppie degli
elementi di base di H1 x H2, ovvero � isomorfo ad H1 x H2
ed � dotato di un prodotto scalare e di una topologia indotta
da H1 x H2. La differenza di questo oggetto rispetto allo spazio
vettoriale prodotto cartesiano, che si indica anche con un simbolo
differente: H1 + H2 (andrebbero aggiunti dei circoletti intorno ai segni
di somma e prodotto per intendere che si sta pensando alle strutture
vettoriali, infatti in ambito insiemistico A x B denota proprio il prodotto
cartesiano) � considerevole, partiamo dalla somma:
mentre nel prodotto cartesiano le coppia si sommano semplicemente in questo
modo:
(vh1, vh2) + (wh1, wh2) = (vh1+wh1,vh2+wh2)
i prodotti tensoriali vh1 x vh2 e wh1 x wh2 differiscono dal
prodotto tensoriale (vh1+wh1) x (vh2 + wh2). D'altra parte
gi� il conteggio dimensionale ti dice che le forme bilineari
formano uno spazio vettoriale che ha dimensione pari al prodotto
delle dimensioni degli spazi di partenza. Mentre il prodotto cartesiano
ha prodotto pari alla somma. Da un punto di vista pittorico, mentre le
coppie cartesiane si possono rappresentare giustapponendo uno di
seguito all'altro i vettori degli spazi di partenza, le coppie tensoriali si
possono
rappresentare mediante matrici con indice di riga negli indici di H1 ed
indice di
colonna negli indici di H2. Il motivo di confusione deriva da questa ingenua
osservazione:
(v, w+a u) = (v,w) + a (v,u) � multilineare
ed anche per il prodotto tensore:
v x (w+a u) = v x w + a v x u.
Tuttavia, mentre nel prodotto cartesiano (v,0) + (0,w) = (v,w)
nel prodotto tensoriale (v x 0) + (0 x w) = 0. Per questa ragione
mentre nel prodotto cartesiano l'elemento (e1, e2) pu� essere
espresso come (e1,0) +(0,e2) e quindi si riottiene la nota identit�:
(vh1, vh2) + (wh1, wh2) = (vh1+wh1,vh2+wh2)
nel prodotto tensoriale invece
(e1 x e2 ) � linearmente indipendente da (e1 x 0) e (0 x e2)
(che valgono identicamente zero) e quindi la dimensione non
si riduce pi� alla somma delle dimensioni iniziali, ma cresce
fino al prodotto delle dimensioni iniziali.
In dimensione infinita, c'� una difficolt� di ordine differente: questo
spazio vettoriale, costruito dalle coppie degli elementi di base
di H1 ed H2, per diventare di Hilbert, oltre che essere dotato
di un prodotto scalare, deve essere completato rispetto alla
topologia indotta dalla norma associata a questo prodotto scalare.
Ovvero occorre che tutte le sequenze di Cauchy siano convergenti
ad un elemento, per questo non basta l'estensione per linearit� del
prodotto scalare sugli elementi di base, ma occorre addentrarsi in
sottigliezze di convergenza. La schematizzazione dettagliata dei vari
passi della procedura di definizione l'ha fornita Walter.
> L(H1,H2) ha elementi privilegiati, i prodotti tensoriali, costruiti
> come segue usando elementi di f in H1 e g in H2
>
> f tensor g : (k,h) |-> <f|k> <g|h>
>
> < | > � il prodotto scalare. Puoi verificare che f tensor g � davvero
> un elemento di L(H1,H2), dalle propriet� di linearit� a destra del
> prodotto scalare.
> Quindi f tensor g � individuato dalla coppia ordinata (f,g), ma NON �
> la semplice coppia ordinata (f,g), � qualcosa di pi� complicato: un
> funzionale bilineare su H1 x H2. Andiamo avanti
> Il sottospazio *generato* da tutti gli elementi f tensor g in
> L(H1,H2), al variare di f in H1 e g in H2, si chiama *spazio prodotto
> tensoriale ALGEBRICO* di H1 e H2, che indicher� con
>
> H1 atensor H2
>
> ed i suoi elementi sono detti *tensori*.
> Nota bene che gli elementi di H1 atensor H2 non sono semplici
> elementi del tipo f tensor g ma COMBINAZIONI LINEARI di tali
> elementi.
> Questo � fondamentale in meccanica quantistica, perch� implementa il
> principio di sovrapposizione degli stati
> (per questo motivo si usa il prodotto tensoriale...).
> H1 atensor H2 NON � ancora uno spazio di Hilbert, e per fare la
> meccanica quantistica lo deve essere, allora bisogna ancora raffinare
> la definizione, passando al prodotto tensoriale HILBERTIANO di H1 e
> H2, che � quello, immagino, che interessi a te. E' abbastanza
> semplice.
> Su H1 atensor H2 si mette un prodotto scalare indotto da quelli di H2
> e H2 e definito in due passi come segue.
>
> 1) Per prodotti tensoriali semplici f tensor g e h tensor k, se <|>_1
> e <|>_2 sono i prodotti scalari in H1 e H2 rispett:
>
> < f tensor g | h tensor k > := <f|h>_1 <g|k>_2 (prod scalar)
>
>
> 2) Si estende per sesqui-linearit� la definizione data sopra a
> combinazioni lineari finite di prodotti tensoriali semplici. Es
>
> < a f tensor g + b h tensor k | p tensor q > : = a*< f tensor g | p
> tensor q > + b*< h tensor k | p tensor q >
>
> dove * � il complesso coiniugato...La stessa cosa si fa con
> l'argomento di destra senza coniugazione complessa...
> Si dimostra (non � banalissimo, ci vuole un teorema di universalit�)
> che c'� un unica forma sesquilineare su H1 atensor H2 che soddisfa le
> richieste, e questa forma sesquilineare � definita positiva, per cui �
> un prodotto scalare hermitiano
> < | > su H1 atensor H2, l'unico, che soddisfa la rischiesta (prod
> scalar).
>
> A questo punto il gioco � fatto: si prende il completamento di H1
> atensor H2 rispetto alla norma associata a < | > e questo spazio
> di Hilbert �, per definizione, il prodotto tensoriale hilbertiano di
> H1 e H2 e si indica con H1 tensor H2.
> In definitiva H1 tensor H2 � composto di combinazioni lineari *in
> generale infinite* di prodotti tensoriali elementari f tensor g. La
> nozione di convergenza da usare � quella definita dal prodotto scalare
> < | >. E' abbastanza intuitivo che se {u_i} e {v_j} sono basi
> hilbertiane (sistemi ortonormali completi) di H1 e H2 rispettivamente,
> tutti gli elementi u_i tensor v_j, al variare di i e j in tutti i modi
> possibili, formano una base hilbertiana di H1 tensor H2.
>
> Ciao, Valter
> --------------------------------------------------------------------
> Valter Moretti
> Dip. Matematica - Univ. Trento
> http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html
>
--------------------------------
Inviato via
http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Sun Jan 13 2008 - 15:41:12 CET