Re: Violazione del principio di Heisenberg [MQ]

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it>
Date: Wed, 08 Aug 2012 21:30:27 +0200

cometa_luminosa ha scritto:
> Prendiamo ad es. il concetto di due osservabili A e B che non
> commutano. AB|psi> e' diverso da BA|psi>. Ok, matematica.
> Adesso cerco il significato fisico.
> AB|psi> e' lo stato che si ha applicando l'operatore A allo stato
> B|psi>.
> Sarebbe tutto piu' facile se |psi> fosse un autostato simultaneo di B
> e di A, perche' allora il significato fisico di AB|psi> sarebbe
> chiaro: ho fatto una misura di A e di B sullo stato |psi>.
Non � cos�: applicare un operatore a un vettore di stato non significa
eseguire una misura!
E' curioso che questa idea sia piuttosto diffusa, sebbene (ovviamente)
nessun libro di m.q. lo dica.

> Ma questo non puo' essere perche' allora gli operatori dovrebbero
> commutare:
> AB|psi> = A lambda |psi> = lambda A |psi> = lambda mu |psi>
> BA|psi> = B mu|psi> = mu B |psi> = mu lambda |psi>
> ovvero AB|psi> = BA|psi>.
Qui � la matematica che � proprio sballata...
Non hai dimostrato che A e B commutano, ma solo che AB e BA danno lo
stesso risultato su *un particolare vettore*.
Il teorema che hai in mente dice una cosa un po' pi� complicata: se A
e B commutano, hanno *una base* di autovettori simultanei, e viceversa.

> Quindi mi rimane la domanda: che cavolo significa, fisicamente, il
> fatto che due osservabili non commutano? :-)
Se fai una misura di A, la misura lascia il sistema in uno stato che �
autovettore di A.
Se *ora* fai una misura di B, trasformerai lo stato in autovettore di B.
Domanda: potrebbe restare autovettore di A?
Risposta: se questo accadesse sempre, avresti autovettori simultanei
di A e di B per *qualsiasi* risultato delle misure, quindi tanti da
formare una base dello spazio degli stati.
Se A e B non commutano, questo � escluso.

> Sarebbe intrecciata con cosa, con il campo magnetico?
No: la particella possiede (parlando alla buona) i gradi di libert� di
posizione e quelli di spin.
Tecnicamente, ci� significa che lo spazio di Hilbert dei vettori di
stato � il prodotto tensoriale di due sottospazi: quello in cui �
definito l'operatore posizione e quello dello spin.
Supponi ad es. che la particella stia viaggiando in direzione x e che
il campo sia in direzione z.
Se parti con uno stato iniziale (non intrecciato) in cui � definito
l'impulso e la componente x dello spin, dopo un tempo generico
troverai uno stato *intrecciato*, che non pu� essere scritto come
prodotto.
Facendo i conti, avrai che c'� una correlazione tra il valore di sz e
quello di pz, il che significa (a questo serve l'esperimento) che il
pacchetto si divide in due: uno con sz=+1 che sale in direzione z, e
uno con sz=-1 che scende.

Non so se sono stato chiaro (temo di no :) ) ma non � cosa che si
possa agevolmente spiegare in un NG.
--
Elio Fabri
Received on Wed Aug 08 2012 - 21:30:27 CEST