"Llewlyn" ha scritto:
> Un quadrivettore (4vec) � una grandezza fisica con 4 componenti che,
> cambiando sistema di riferimento (inerziale), si trasforma con la
> matrice di Lorentz, analogamente al 4vec evento (ct, x,y,z). Su questo
> spazio definisco una metrica data dal tensore di Minkowski pensando
> che la "distanza" tra due punti dev'essere conservata cambiando base
> dello spazio vettoriale (ovvero fisicamente cambiando sistema di
> riferimento, cio� applicando la trasformazione di Lorentz).
> Adesso definiamo il 4potenziale come (phi, A) dove phi � il potenziale
> scalare. Per mostrare che � un 4vec devo mostrare che cambiando
> riferimento si trasforma con Lorentz ma non lo so fare. Per� posso
> scrivere le equazioni di Maxwell, mi metto nella gauge di Lorentz
> ottenendo la forma:
>
> D'alembertiano A^(mu) = j^(mu)
>
> Da cui deduco che il potenziale � un quadrivettore perch� eguale al
> quadrivettore corrente, a meno del d'alembertiano che � un operatore
> invariante, ovvero che non cambia la propriet� di trasformazione
> relativistica della funzione a cui viene applicato. Ma...
Secondo me questa "deduzione" non e' convincente, vedi poi...
> 1) Il potenziale vettore � quindi un 4vec SOLO in gauge di Lorentz?
> Xch� quantizzando il campo e.m me lo ritrovo ovunque espresso in gauge
> di coulomb ma la struttura differenziabile usata � quella di
> minkowski.
Nel seguito indico con ^ gli indici in alto (controvarianti) e con _ quelli
in basso (covarianti), e con _(,mu) la derivata parziale rispetto alla
coordinata x^(mu), se g(mu nu) e' il tensore metrico definisco
^(,mu) = g(mu nu) _(,nu), uso unita' gaussiane ponendo c = 1,
e uso la convenzione di somma sugli indici muti.
No, il potenziale vettore e' un quadrivettore _per definizione_,
quindi sempre, e si definisce in questo modo:
si cerca un quadrivettore A tale che si possa esprimere il tensore
del campo e.m. F in funzione della parte antisimmetrica del
gradiente di A:
(1) F_(mu nu) = A_(nu, mu) - A_(mu, nu)
quindi si verifica per sostituzione che F soddisfa alle
equazioni di Maxwell se e solo se vale:
(2) A^(ro, mu)_(,mu) - A^(mu)_(,mu)^(,ro) = -4 * Pi * J^(ro),
poi si verifica sempre per sostituzione che se un quadrivettore A
soddisfa a (1) e (2) allora anche il quadrivettore A' ottenuto con
la trasformazione di gauge:
(3) A'_(mu) = A_(mu) + f_(,mu)
con f funzione scalare arbitraria, soddisfa ancora (1) e (2).
Usando la (3) si vede che e' possibile scegliere la funzione f
in modo da ottenere la gauge di Lorenz:
(4) A^(mu)_(,mu) = 0,
e sostituendo in (2) si ottiene l'equazione d'onda:
(5) D'Alembertiano A = -4 * Pi * J.
La (4) e la (5) sono espresse in forma covariante quindi valgono
in ogni sistema di coordinate Lorentziano, cioe' se si esegue una
trasformazione di Lorentz sulle coordinate del quadrivettore A e
del quadrivettore J, continuano a valere (4) e (5).
Oppure, sempre usando la (3), si puo' scegliere f
in modo da ottenere la gauge di Coulomb:
(6) div(parte spaziale di A) = 0,
ove div() e' la divergenza 3-dimensionale,
questa equazione non e' covariante e quindi se
in un riferimento inerziale si definisce il quadrivettore A in modo
che soddisfi la (6), in generale eseguendo un cambiamento di riferimento
inerziale le componenti trasformate del quadrivettore A non
soddisferanno piu' la (6).
> 2) Come posso vedere che il dalambertiano non altera "l'algebra" del
> potenziale vettore? Cio� che � "invariante"?
Si _definisce_ il D'Alembertiano come divergenza composto
gradiente (entrambi quadridimensionali),
il gradiente per definizione e' un operatore che applicato
a un tensore di rango n genera un tensore di rango n + 1,
la divergenza per definizione e' un operatore che applicato
a un tensore di rango n genera un tensore di rango n - 1,
quindi applicando in successione gradiente e divergenza
a un quadrivettore (tensore di rango 1) si ottiene ancora
un quadrivettore.
Viceversa se accade che il D'Alembertiano di una grandezza
A con 4 componenti sia un quadrivettore B, cio' non
implica che A sia un quadrivettore, ecco un controesempio:
Sia S un riferimento inerziale e S' un altro riferimento inerziale,
che si muova con velocita' (beta_x, beta_y, beta_z) rispetto a S,
definisco la grandezza A con 4 componenti in modo che
in S A sia identicamente nulla, e in S' abbia componenti
(0, beta_x, beta_y, beta_z), allora vale in ogni riferimento
l'equazione:
D'Alembertiano A = (0, 0, 0, 0),
cioe' D'Alembertiano A = quadrivettore nullo,
ma A ovviamente _non_ e' un quadrivettore.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Received on Wed Jan 02 2008 - 11:49:01 CET