Re: soluzioni classiche in QFT

From: Eugenio Bianchi <eugenio.bianchi_at_gmail.com>
Date: Sun, 16 Dec 2007 11:01:39 -0800 (PST)

Ciao argo,

ne approfitto per lasciare un commento mentre sono bloccato in
aeroporto a Eindhoven (OT: seguiranno altri commenti nel caso il
ritardo si prolunga a tutta la notte..)

> Se perturbassi invece intorno ad un'altra soluzione classica
> dell'equzione del moto?
direi che, se tutto va bene, avrai la teoria di campo perturbativa
intorno a quella specifica soluzione classica. Il nome giusto per
questa cosa sarebbe approssimazione semiclassica.
dico ''se tutto va bene'' per piu' di un motivo:

- in generale avresti che, anche se restringi l'attenzione solo al
termine libero nella Lagrangiana perturbativa (e trascuri
l'interazione), in generale questo termine dipende dalla posizione e
dal tempo come fai notare tu sopra. Quindi questa teoria quantistica
e' difficile da gestire tanto quanto una teoria di campo libera su
spazio curvo privo di killing temporali.

- ci sono soluzioni classiche che devi proprio escludere!! sono
quelle che oscillano troppo, nello spazio o nel tempo. Se provi a
quantizzare le fluttuazioni intorno a queste soluzioni, trovi che la
teoria quantistica non e' nel suo regime perturbativo. Questo
equivale, in meccanica quantistica elementare con particella in campo
attrattivo coulombiano), a quantizzare la perturbazione intorno a
un'orbita ellittica che ha semiasse-minore dell'ordine del raggio di
Bohr. Capito l'argomento, uno sa anche stimare che vuol dire
''oscillano troppo''

> Avrei che i coeffienti nell'azione delle
> oscillazioni dipenderebbero dalla posizione e dal tempo. Sarebbe come
> avere un campo esterno?
si', in particolare se quantizzi intorno a phi0=cost+f(x,t), con |
f(x,t)|/cost<<1. Tuttavia si tratterebbe di un campo esterno che
accoppia a termini tipo _at_phi @phi.
> Si otterrebbero risultati ragionevoli (ad
> esempio nelle ampiezze di scattering)?

questa e' una domanda molto interessante!

in generale per scegliere una soluzione classica intorno a cui
perturbare devo darne le condizioni iniziali (q0,p0) , o
equivalentemente q0 al tempo iniziale t0 e q1 al tempo finale t1.
Fissato l'intervallo T=(t1-t0), questo e' sufficiente (a meno di
sottigliezze) a fissare la soluzione classica q(t). Credo che lo
schema corretto sia proprio questo, cioe' in quello che dici non puoi
davvero scegliere _la_ soluzione classica, ma puoi solo scegliere
q0,q1 e T. Questi corrisponderebbero ai valori di aspettazione
dell'operatore q^ sullo stato iniziale e sullo stato finale nella
teoria non-perturbativa (che non hai).
Nello scattering pero' sei interessato al caso T->oo. Una cosa che mi
hanno raccontato (ma non ho mai provato a scrivere i dettagli) e' che
nel limite T->+oo succede qualcosa di peculiare: le uniche soluzioni
classiche che contribuiscono sono quelle indipendenti dal tempo. (Il
motivo credo sia che, ruotando all'euclideo e mandando T a +oo,
troverei che le uniche soluzioni che non sono soppresse sono quelle di
energia minima (e non solo di azione estrema), quindi se la soluzione
e' stazionaria, intanto il termine cinetico e' zero. Poi resta quello
di potenziale.)

Quindi, se capisco bene, almeno nel caso 1+1 dimensionale e per
potenziale a cappello di messicano resta solo la soluzione classica in
uno dei due minimi del potenziale e la soluzione di solitone e quello
che quantizzi e ne studi lo scattering sono le perturbazioni intorno a
una di queste soluzioni. Sarebbe meglio pero' se a questo punto
intervenisse qualcuno che queste cose le sa e le spiegasse per bene e
correggesse gli errori in quello che ho detto...



Eugenio
Received on Sun Dec 16 2007 - 20:01:39 CET