"luciano buggio" ha scritto:
> Ora per�, visto che si parla in qualche modo di competizione:-), sarei
> curioso di sapere quale � il tempo (che sappiamo essere il minimo)
> impiegato dalla pallina nel caso in cui il percorso concavo, fermi
> restando il punto di partenza ed il punto di arrivo finora fissati, sia il
> tratto di cicloide (rovesciata) intercettato dalla retta inclinata di 45�
> passante per la cuspide.
Scelgo un sistema di coordinate cartesiane con origine nel punto
di partenza, asse x diretto orizzontalmente verso destra e asse y
diretto verticalmente verso il basso, e uso unita' con R = g = 1,
quindi il punto di arrivo ha coordinate (1,1).
Dalla conservazione dell'energia si ricava v = ds/dt = Sqrt(2*y),
l'elemento infinitesimo di percorso e' ds = Sqrt(dx^2 + dy^2) =
Sqrt(x'^2 + 1) * dy, considerando x come funzione di y e avendo
posto dx/dy = x', quindi il tempo di percorrenza e':
(1) t = Integrale[ds/v] = Integrale[Sqrt[(x'^2 + 1) / (2*y)] dy, da 0 a 1],
con le condizioni al contorno x(0) = 0, x(1) = 1.
Posto L = Sqrt[(x'^2 + 1) / y], l'equazione di Eulero Lagrange
permette di trovare l'estremale del funzionale t:
d(_at_L/_at_x') / dy - @L/_at_x = 0 =>
d{x'/Sqrt[(x'^2 + 1) * y]} / dy = 0 =>
x' / Sqrt[(x'^2 + 1) * y] = k = cost.
da cui, risolvendo in x':
(2) x' = Sqrt[k^2 * y / (1 - k^2 * y)]
e, separando le variabili e integrando tra 0 e 1:
1 = Integrale[Sqrt[k^2 * y / (1 - k^2 * y)] dy, da 0 a 1],
sostituendo k^2 * y = Sin[z]^2, si ottiene:
1 = 2 / k^2 * Integrale[Sin[z]^2 dz, da 0 a ArcSin[k]] =>
1 = (ArcSin[k] - k * Sqrt(1 - k^2)) / k^2,
risolvendo numericamente si trova:
k = 0.934198, e sostituendo la (2) nella (1) si ha:
t = Integrale[[(1 - k^2 * y) * 2 * y)]^(-1/2) dy, da 0 a 1],
e integrando si ha:
t = 1.82568,
poco minore che nel caso della traiettoria circolare.
Ciao
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Giorgio Bibbiani
Received on Wed Nov 28 2007 - 10:13:36 CET