Re: phi^2 in background gravitazionale

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Wed, 31 Oct 2007 11:26:18 -0700

On 31 Ott, 09:27, argo <brandobellazz..._at_supereva.it> wrote:
> On 30 Ott, 22:47, Valter Moretti <vmoret..._at_hotmail.com> wrote:
>
> > > So in background non banale in generale ci sono scelte non
> > > equivalenti (ma in che senso?) dello stato di vuoto e dell'algebra
> > > {a(k),a*(k)}.
>
> > L'algebra non � quella, � qualla dei campi, che sono cose un p� pi�
> > astratte.
> > Prendi la *-algebra dei campi e definisci uno stato come un funzionale
> > lineare positivo e normalizzato.
>
> Capisco che nel caso generale possa non essere quella giusta, ma nel
> caso statico si puo' lavorare direttamente con gli
> a(k) e a*(k) o con i campi a frequenze positive e negative? Direi di
> si'.

Ci sono delle differenze: gli a(k) e a*(k) non sono osservabili non
essendo autoaggiunti, l'algebra dei campi invece � fatta da
osservabili...ma non � molto importante a questo livello.

> Chiedo questo perche l'ordinamento normale definito direttamente come
> un'azione sull'algebra mi piace molto visto che si puo' esprimere
> senza riferirsi appunto a nessuna rappresentazione
> (o se vuoi riferendosi a sottrarre il valore di aspettazione nella
> rappresentazione Fock).

Si pu� fare cos� in generale, lavorando sull'algebra dei campi e
definendo l'ordinamento normale tramite una sottrazione rispetto alla
singolarit� di Hadamard ed imponendo la procedura di Wick. Questo
equivale, nel caso statico alla solita procedura, a ameno di termini
di rinormalizzazione...

> Faccio un esempio in Minkowski per spiegarmi.
> Se lavori in rappresentazione termica di Gibbs e ti chiedi la densita'
> di energia del vuoto (di Gibbs a temperatura T)
> non devi sottrarre al al tensore energia impulso splittato il valore
> di aspettazione sul vuoto (altrimenti il risultato fara' zero per
> costruzione)
> ma invece devi sottrarre il valore di aspettazione sul vuoto a T=0,
> cioe' devi sottrarre rispetto al vuoto di Fock ovvero usare il normal
> ordering:
> nel risultato ottieni che (se il campo era massless) la densita' di
> energia e' proporzionale a T^4 (cioe' la legge di Stefan-Boltzmann).
> Certo la risposta finale differisce da zero per una costante (T e'
> fissato), ma in questo caso mi sembra che abbia senso fisico non
> buttarla via.

Non � cos� semplice. Devi prima di tutto sottrarre la singolarit�
universale di Hadamrd
e poi fissare i termini di rinormalizzazione rinanenti con qualche
richiesta fisica.
Nel Minkowski, la singolarit� di Hadamard � proprio la funzione a due
punti rispetto al vuoto di Minkowski, per cui la cosa si riduce ad una
banalit�

> Mi chiedo dunque se in qualche senso rinormalizzare direttamente la
> teoria usando il normal ordering
> a livello algebrico sia qualcosa di intrinseco che bisogna usare.
>


Ripeto che il normal ordering, definito nello spaziotempo curvo �
neient'altro che
la sottrazione rispetto alla singolarit� di Hadamard.

> > > Tuttavia mi aspetterei che la differenza tra due phi^2 definiti
> > > rispetto a due vuoti diversi stia solamente in una costante finita: e'
> > > cosi'?
>
> > no, non � una costante � una funzione del posto. Ci sono dei vincoli,
> > per esempio pu� essere proporzionale alla curvatura. La questione �
> > abbastanza difficile, se vuoi ti dico dove andare a guardare...
>
> Molto interessante, si' se puoi darmi dei riferimenti ti sarei grato.
>
> > > E piu' in generale quale e' il problema del point-splitting in
> > > campo gravitazionale?
>
> > Gli stati fisicamente sensati si chiamano "stati di Hadamard", la loro
> > divergenza ultravioletta � universale: dipende dalla distanza
> > geodetica ed � fissata dalla parametrix di Hadamard. Il point
> > splitting si costruisce sottraendo questa divergenza universale. Nel
> > caso di stati statici, la sottrazione corrisponde ai : :...
>
> Ah ecco. Pero' il point-spitting e' un operazione che richiedere di
> scegliere una rappresentazione,
> il normal ordering si riferisce sempre a Fock.


si e no. Dipende cosa intendi per normal ordering. Il caso
Minkowskiano � ingannevole perch� la singolarit� di Hadamard coincide
come dicevo con la funzione a due punti...


Puoi provare a leggere

Comments on the stress energy tensor operator in curved space-time.
Valter Moretti (Trento U.) . UTM-601, Sep 2001. 36pp.
Published in Commun.Math.Phys.232:189-221,2003.
e-Print: gr-qc/0109048

e la bibliografia citata.
Ti avverto che � abbastanza pesante.

Ciao, Valter

> Grazie.
> ciao.
Received on Wed Oct 31 2007 - 19:26:18 CET