Re: Teorema di Noether quantistico

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Tue, 16 Oct 2007 00:48:17 -0700

On Oct 15, 8:39 pm, Neo <Neosh..._at_gmail.com> wrote:
> Esiste una formulazione quantistica del teorema di Noether?
>
> Se si come si pu� formulare? Dimostrazione?
>
> Grazie in anticipo
> --
> Ciao Neo



Ciao, del teorema di Noether vero e proprio no, visto che � dato in
formulazione lagrangiana. Devi prima passare in quella hamiltoniana. A
quel punto puoi generalizzarlo. La forma pi� astratta potrebbe essere
questa a livello di Meccanica Quantistica elementare (passando alla
formulazione algebrica si pu� dire ancora di pi�)

"Sia S un sistema quantistico descritto sullo spazio di Hilbert K e
con operatore di Hamilton H
(indipendente dal tempo). Se G � un gruppo di Lie che ammette una
rappresentazione unitaria su K che sia anche fortemente continua e che
infine ammetta t -> exp{itH} (cio� l'evolutore temporale) come
sottogruppo ad un parametro, allora ad ogni elemento dell'algebra di
Lie di G corrisponde un'osservabile (operatore autoaggiunto su K) la
cui evoluzione nel senso di Heisenberg � costante. "

G lo possiamo pensare come gruppo di simmetria del sistema
fisico...vedi altri commenti sotto.

La dim, si pu� tracciare (ometto dettagli tecnici) come segue.
Fissiamo una base nell'algebra di Lie A_1,...,A_n che possiamo pensare
come fatta da operatori autoaggiunti, cio� osservabili (ci sarebbe da
discutere sui domini comuni...).
Se il numero rerale a � piccolo a sufficienza, possiamo scrivere, per
opportuni coefficienti reali c_i(t) dipendenti dal tempo:

e^{-itH} e^{i aA_1}e^{itH} = e^{i a somma_k c_k(t) A_k} (1)

Quello che ho fatto � di avere riscritto il prodotto di tre
esponenziali dell'algebra di Lie (H � nell'algebra di Lie per
ipotesi), come un unico esponenziale di un elemento
{somma_k c_k(t) A_k} dell'algebra di Lie.

Pertanto, da (1)

exp{ia e^{-itH} A_1 e^{itH} } = exp{i a somma_k c_k(t) A_k }

e quindi (qui ci sarebbe da discutere)

e^{-itH} A_1 e^{itH} = somma_k c_k(t) A_k

In definitiva, se definisco

A_1(t) := somma_k c_k(t) A_1

ho che l'evoluzione di Heisenberg di A_k(t) (che � un operatore che
"dipende esplicitamente dal tempo") � costante:

e^{itH} A_1(t) e^{-itH} = A_1
Dato che A_1 era generico, questo vale per tutti gli elementi
dell'algebra di Lie.



Il caso pi� elementare possibile si ha quando

e^{-itH} e^{i aA_1}e^{itH} = e^{i a A_1}

che "volgarmente" si dice, che H commuta con A_1:

[H, A_1] = 0

(in effetti sotto certe ipotesi le due cose sono equivalenti)

In tal caso il teorema fornisce:

A_1(t) = A_1

e quindi A_1t) NON dipende esplicitamente dal tempo e si conserva.

Questo accade per esempio quando uno prende una particella in R^3 e
considera il gruppo di Lie delle rotazioni rappresentato unitariamente
nel solito modo. Si passa quindi al gruppo prodotto diretto dato
dalle rotazioni e dall'evoluzione temporale (sono gruppi che commutano
per cui il prodotto diretto si costruisce). In questo gruppo grande
valgono le ipotesi di sopra e risulta che le tre componenti del
momento angolare si conservano...In questo caso usare l'enunciato di
sopra � come sparare con una pistola ad una mosca. Tuttavia ci sono
altri casi dove non se ne pu� fare a meno. Se consideri il gruppo di
Lorentz, le trasformazioni di Lorentz vere e proprie cio� i cosiddetti
boost necessitano della trattazione di sopra (accade anche per il
gruppo di Galileo, ma li ci sono altri problemi legati alla stessa
unitariet� della rappresentazione, che invece � proiettiva...) e la
grandezza conservata ha un significato indiretto che corrisponde al
"teorema del centro di massa" quantistico.

La formulazione che ho dato prescinde completamente dalla natura del
gruppo G di "simmetria" del sistema. Non � necessariamente un gruppo
di natura geometrica. Ci potrebbero essere gruppi di simmetria (nel
senso di spora) che non sono indotti dalla geometria del problema.
Personalmente, con un mio collaboratore ci siamo imbattuti in questo
caso diversi anni fa, scoprendo una simmetria conforme "hidden" per
teorie di campo libere sviluppate vicino ad orizzonti biforcati (tipo
buchi neri, ma anche spazio di Rindler)

V. Moretti and N. Pinamonti: Aspects of Hidden and manifest SL(2,R)
symmetry in 2D near horizon black hole background Nucl. Phys.B 647,
131 (2002).

Ciao, Valter
Received on Tue Oct 16 2007 - 09:48:17 CEST