On 16 Set, 16:20, br..._at_libero.it (Filiberto) wrote:
>
> Quindi la classe L_b da quanti elementi � fatta? Tutti gli elementi del
> gruppo B?
SI
>
> > Si definisce allora, sul prodotto cartesiano A x B la struttura di
> > gruppo tramite il prodotto:
>
> > (a,b) (a',b') := (a L_b(a'), bb' )
>
> Ma che razza di prodotto � mai questo??
Un prodotto semidiretto, ce ne sono un mucchio nelle applicazioni in
fisica...
> L_b(a') � la classe degli
> isomorfismi di A etichettati dagli elementi di B, per� a' cosa c'entra??
Non proprio. L_b � un isomorfismo gruppale da A in A e quindi
L_b(a') � un elemento di A, per cui lo puoi comporre con suoi simili
ed il prodotto a L_b(a') ha senso come elemento di A.
> > (T,R) (T', R') = (T + RT', RR') (1)
>
> Perch� TL_R (T') = T + RT' ?? Scusa questo � il punto centrale che non
> riesco a capire.
Non vederlo come strutture astratte, pensa a qualcosa di concreto.
Fissa un sistema di coordinate cartesiane ortonormali sul piano con
origine O.
I punti del piano sono vettori x spiccati da O. Ora puoi agire su una
figura fatta di punti x1,x2,... in vari modi in modo da preservare le
distanze reciproche tra tutti gli
xn. Queste trasformazioni, dette isometrie, formano un gruppo. Come �
fatto?
Non la far� tanto lunga. Nota che ci sono due tipi di isometrie ben
note
1) Rotazioni attorno a O dei punti xn. Queste agiscono come
x -> Rx
per ogni rotazione, cio� matrice R di O(2)
2) Traslazioni dei punti xn. Queste agiscono come
x-> T + x
per ogni traslazione, cio� vettore libero T del piano. Anche questi
formano un gruppo, abeliano che si pu� indicare con |R^2 per ovvi
motivi...Ricorda che la legge di composizione � il + di vettori per
questo gruppo.
Come facciamo a mettere insieme le R e le T in modo da fare un gruppo
che le contenga entrambe e contenga loro combinazioni, cio� fare il
gruppo delle isometrie??. Mica facile, le R sono matrici 2x2, le T
sono vettori a due componenti!
Mi immagino che gli elementi del gruppo delle isometrie sono quindi
coppie (T,R)
(bisognerebbe dimostrare che queste coppie esauriscono tutto il
gruppo, cosa che qui non far�). In quealche modo le coppie (T,R) sono
gli elementi di un certo tipo di prodotto del gruppo |R^2 e del gruppo
O(2). Vediamo come � fatto tale prodotto.
Vediamo come agiscono una R e una T applicate di seguito su un fissato
x
(T,R)(x) := T+ Rx
Quindi prima ruoto x di R e poi traslo il risultato.
Ora facciamo agire due coppie di seguito
(T,R)(T',R') (x) := (T,R) (T'+ R'x) = T+ RT' + RR'x
il risultato si pu� anche scrivere (T+RT', RR') (x)
Eliminado x che � generico abbiamo trovato la legge di composizione
(T,R)(T',R') = (T+RT', RR')
Puoi verificare che l'insieme delle coppie (T,R) con questa legge � un
gruppo.
Nota che R agisce su T perch� T � un vettore come x. In realt� stiamo
facendo agire un elemento del gruppo O(2) su un elemento di |R^2. Se
volessimo fare gli astratti dovremmo scrivere al posto di RT'
L_R(T)
dove L_R : |R^2 -> |R^2 � un isomorfosmo gruppale del gruppo delle
traslazioni in se stesso. C'� un isomorfosmo L_R per ogni rotazione di
O(2) e vale
L_R L_R' = L_(RR')
Abbiamo quindi trovato che
(T,R)(T',R') = (T+RT', RR')
ha la struttura di prodotto semidiretto come dicevo
e vale semplicemente:
L_R(T) = RT
Dato che la legge di composizione in |R^2 � il + di vettori
TL_R(T')
si deve pensare come
T+ RT'
Il prodotto semidiretto generale � un'astrazione di quanto appena
visto per |R^2 e O(2), dato che questa situazione � molto generale
anche in altri contesti.
>
> Cio� che tipo di calcoli?? Si tratta di capire in ogni caso come � fatto L_b
> vero?? Questo pu� cambiare ogni volta.
>
Per i prodotti semi diretti "esterni" � abbsatnza evidente quando
pensi il gruppo come gruppo di trasformazioni e applichi gli elementi
su oggetti concreti, come i vettori nel caso in esame...Un altro
suggerimento te lo ha scritto Elio...
> Ti ringrazio tantissimo per questa risposta. Sai che Ryders non sapeva
> nemmeno perch� ci fosse questo omomorfismo? Ed � uno che si occupa degli
> aspetti geometrici della fisica delle particelle nonch� collaboratore di
> Peter Higgs. Ha fatto la tesi di dottorato con Higgs. Ora posso dire che ne
> sai pi� di lui!!!
Ma si lo consoco il libro e anche studenti di Ryders. E' che il libro
� vecchio e una volta queste cose si facevano un po' "mani e piedi".
>Sei veramente un grande!! Ma perch� non scrivi un libro su
> questi argomenti applicati alla fisica??
Ho scritto un po' di dispense, ma non proprio centrate su queste cose
anche se i gruppi li uso pesantemente:
http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html
ogni tanto qualche casa editrice mi contatta per pubblicarle, ma
preferisco di no, voglio che siano libere.
>O ce ne sono gi� in letteratura?
Ce ne sono tanti. Di tutti i tipi.
> Io
> ho fotocopiato lo sternberg, pensi che ci siano queste cose??
E' un po' vecchio anche quello, ma � meglio del Ryders per queste
cose...
Ma non � un libro di fisica.
> Tantissime grazie per questi tuoi preziosi interventi!!
Prego ma ci sono anche tante altre persone che sanno bene queste cose
qui sul NG.
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dip. Matematica - Univ. Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Sun Sep 16 2007 - 19:14:30 CEST