Re: E^2 è isomorfo a SO(2)?

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Wed, 12 Sep 2007 06:26:30 -0700

On 11 Set, 09:54, br..._at_libero.it (Filiberto) wrote:

>
> Nella definizione di prodotto semidiretto � implicito un omomorfismo. In
> questo caso dovrebbe essere un omomorfismo di SO(2) nel semigruppo degli
> endomorfismi del gruppo abeliano delle traslazioni??
> E' la prima volta che sento il termine prodotto semidiretto. Mi scuserai...

Mi pare un p� diverso.
Devi avere due gruppi A e B e poi una classe {L_b}_{b in B} di
isomorfismi gruppali

L_b : A -> A

etichettata su b in B, in modo da definire una rappresentazione di B
su A, cio� in modo che valga

  L_b L_b' = L_{bb'}

Si definisce allora, sul prodotto cartesiano A x B la struttura di
gruppo tramite il prodotto:

(a,b) (a',b') := (a L_b(a'), bb' )

Nel caso in esame il gruppo delle isometrie del piano E_2 �
individuato da tutte le coppie
(T, R)
dove T � una traslazione, cio� un elemento del gruppo abeliano R^2 e R
una rotazione, cio� un elemento di O(2) rispetto a qualche origine
(fissata) del piano. In questo caso, semplicemente

L_R = R

e quindi il prodotto che individua la struttura di prodotto
semidiretto (notare che conta l'ordine dei fattori) �:

    (T,R) (T', R') = (T + RT', RR') (1)

IL significato � evidente se si applica la coppia (T,R) ad un vettore
x spiccato dall'origine e si intepreta

 (T,R)x := T + Rx,

cio� prima agisce la rotazione e dopo la traslazione.
Con questa interpretazione si ha subito che per ogni x vale
 [ (T,R) (T', R') ] x = (T + RT', RR') x
e questo giustifica la (1).


> Comunque si hai ragione. La domanda che volevo fare � dimostratemi che che
> questi due gruppi sono omomorfi (ho scritto isomorfi per errore, scusa).
> Perch� sono omomorfi, vero??

Si. L'applicazione che associa ad ogni isometria, cio� elemento di
E_2, (T,R), la rotazione R di O(2)

(T,R) |-> R

� sicuramente un omomorfismo suriettivo per la (1) (la struttura di
gruppo � banalmente conservata e questo accade per ogni prodotto
semidiretto...)
Tutto questo � come sparare ad una mosca con un cannone :-)

>In generale come si fa a dimostrare se due
> gruppi sono o meno omomorfi?? Come si fa a capire se la struttura del gruppo
> � conservata?

in generale bisogna indovinare qualche possibile omomorfismo e farsi i
calcoli!

>
> Cordiali saluti.
> Grazie

Prego. Ciao, Valter

PS. Mi spiace non dire di pi� e non poter intervenire nella
discussione che ormai ha preso la tangente, ma sono troppo occupato.
Received on Wed Sep 12 2007 - 15:26:30 CEST