Il 07 Set 2007, 20:46, Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it> ha scritto:
> Tetis ha scritto:
> > Non ho ancora guardato il Fulton Harris, ma il Cornwell suggerisce
> > questa strategia esplicativa per l'uso di SU(2) x SU(2) come base per
> > la costruzione delle rappresentazioni finito dimensionali di SO(3,1)+.
> > ...
> Mumble mumble...
> Come al solito nomini una quantita' di cose che non conosco:
> Non so che cosa sono i gruppi Spin...
> Non conosco le algebre di Clifford.
> Non conosco i teoremi di Hall.
>
> "Colpa tua", puoi dirmi. OK: ma sono il solo?
Non � questione di colpa. Non sei certamente
il solo. Sei certamente in nutrita compagnia, quanto
solo in altre dimensioni culturali di cui probabilmente
io non ho nemmeno il sospetto e che sono certamente
strumenti importanti. Per� anche questi sono
strumenti importanti. Andrebbero
conosciuti. Ho disseminato questo ng e
quello di matematica di richieste di informazioni
su buone trattazioni di questi argomenti. Ne �
nato un interscambio utile, sul ng di matematica
a proposito di un libro edito di recente sulle algebre
di Clifford e gli associati gruppi di Spin.
Definizione di gruppo di Spin_n,k:
gruppo di rivestimento universale di SO(n,k),
pu� essere costruito esplicitamente a partire dalle
algebre di Clifford, donde l'importanza di Spin_n,k.
So che conosci Spinor Algebra di Cartan.
E' un libro che � stato fondamentale al riguardo,
ma che oggi si contestualizza nel tema generale
della "Spin geometry" rispetto a cui risulta superato.
> L'unico ignorante in un NG di sapienti? :-))
>
> Tuttavia stanotte ci ho meditato un po' per conto mio e credo di avere
> capito come funziona il gioco della complessificazione.
> Pero' ora sono troppo stanco per provare a spiegarlo _come si deve_.
> Vediamo domani...
Costruiamo le rappresentazioni irriducibili di su(2) + su(2),
in termini pratici otteniamo matrici concrete per J+iK e J-iK
ne ricaviamo J e K, abbiamo le rappresentazioni irriducibili
finito dimensionali di J e K.
> Resta che ogni tanto scrivi cose impossibili:
Hai ragione, sposto spesso l'attenzione da un
punto, quello che scrivo ad un'altro, quello che
ho letto a proposito di una questione collegata,
e faccio confusione. Qui stavo pensando irriducibili
ed ho scritto unitarie. Non proprio ovvio, dipende da
una certa serie di teoremi che nessuno insegna nei
corsi di fisica, che non esistono
rappresentazioni unitarie finito dimensionali
del gruppo di Lorentz. Il fatto � che tutte le rappresentazioni
irriducibili finito dimensionali si ottengono dal complessificato
di SL(2,C) secondo la ricetta indicata sopra (perch�?).
E come dicono quasi tutti, nel tornare indietro, si ottengono
matrici non hermitiane, quindi gli elementi del gruppo, in
queste rappresentazioni non sono matrici unitarie, perch�
risultano dall'esponenziale di matrici non hermitiane.
E' la strada seguita
dal Gelfand, da Greiner, da Ryder, da Weinberg, e dal mio prof.
di fisica teorica: Di Giacomo. Resta il fatto che pochissimi
spendono qualche parola sul significato di questa costruzione,
sulla sua generalit� e sul fatto che poi ci sono anche le
rappresentazioni infinito dimensionali (che per� poi si usano
allegramente), su non pochi libri ci sono frasi incomprensibili.
Come fa uno studente ad esser sicuro di non
star dicendo castronerie, in tale deserto di informazioni?
Certo, da studente ci si consola pensando che in fondo
nemmeno il professore ne sa poi tanto, nonostante tanto di
pi�.
Oltretutto sul fatto che SU(2) x SU(2) � solo uno dei gruppi
generati dalla teoria delle rappresentazioni, sulle diverse
topologie, e sulla dignit� matematica della costruzione di Weyl
delle rappresentazioni infinito dimensionali poco o nulla.
Nei tuoi appunti di teoria dei gruppi, per lo meno,
si trova dedicato un capitolo alla questione dei sottogruppi
discreti, al fatto che esiste una struttura a reticolo per le
inclusioni e viene da riflettere sul significato della topologia
e sulla differenza profonda che c'� fra la versione compatta
di su(2), geometria sferica, e la versione iperbolica, tratti
infatti gli spazi a curvatura costante nei tuoi appunti di
relativit� generale, ed allora per associazione di idee uno
studente si ricorda che curvatura negativa esistono
poliedri ad infinite facce, in curvatura positiva un numero finito
di poliedri e cercher� di collegare queste due questioni.
Altrove ho come l'impressione che
i lettori siano tenuti ben lontani da queste riflessioni, che non
sono affatto prive di significato fisico. Perch� succede questo?
> > ...
> > Questo � un risultato in vero piuttosto importante che d� la vera
> > misura del perch� sia tanto importante studiare le rappresentazioni
> > unitarie finito dimensionali del gruppo di Lorentz, specie in rapporto
> > all'equazione di Dirac.
> Il gruppo di Lorentz *non possiede* rappr. finito-dimensionali
> unitarie (a parte quella banale).
Come dicevo: leggasi irriducibili in luogo di unitarie.
> --
> Elio Fabri
>
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Received on Sat Sep 08 2007 - 19:38:55 CEST