Re: SL(2,C) e Lorentz gruop secondo sketch

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Tue, 11 Sep 2007 18:58:21 GMT

Il 08 Set 2007, 20:04, Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it> ha scritto:
> Scrivevo ieri:
> > Tuttavia stanotte ci ho meditato un po' per conto mio e credo di avere
> > capito come funziona il gioco della complessificazione.
> > Pero' ora sono troppo stanco per provare a spiegarlo _come si deve_.
> > Vediamo domani...
> Ci provo.
>
> Partiamo dall'algebra di Lie A di un gruppo di Lie, che come si sa e'
> prima di tutto uno spazio vettoriale sui reali (la struttura [.,.] nel
> seguito avra' pochissimo ruolo).
> Sia {e_i} una base di A (mi limito a dimensione finita).
>
> La complessificazione A^c di A non e' che lo sp. vett. su C generato
> dalla stessa base {e_i}.
> E' facile dimostrare che cambiando base si ottiene sempr4e lo stesso
> spazio.
> A^c rimane ancora un'algebra di Lie, con [.,.] definito per linearita'
> a partire dalla base.
>
> Due diverse algebre, A e A', possono avere complessificazioni tra loro
> isomorfe, quindi astrattamente *la stessa* complessificazione.
> E' questo per es. il caso di so(4) e sl(2,C).
> In altre parole, A^c puo' essere ristretta ad algebra reale in piu' di
> un modo (ovviamente con basi diverse, che non sono connesse da comb.
> lineari *reali*).

Fin qui tutto abbastanza semplice.

> Rappresentazione di un'algebra di Lie si definisce al solito modo:
> essenzialmente come omomorfismo f da A dentro l'algebra degli
> endomorfismi di uno spazio vettoriale V (a noi interessa complesso).
> La rappr. e' irriducibile se f(A) non ha sottospazi invarianti propri
> in V.
>
> Ed ecco il punto: se f e' una rappr. irr. di A su V, la sua estensione
> ad A^c (ovvia) *e' ancora irriducibile* (ovvio anche questo).
> Meno ovvio che sia vero anche il viceversa: se f e' una rappr. irr. di
> A^c, essa e' anche rappr. irr. di *ogni* algebra reale contenuta in
> A^c.

Direi che manca l'enunciazione esplicita di un paio di teoremi.
Quello che giustifica questa procedura (il viceversa) e che dovrebbe
essere legato alla circostanza pi� generale che ogni gruppo di Lie
semisemplice connesso � completamente riducibile, e quello che
permette di estendere l'argomento dalle algebre ai gruppi. In particolare
si sfrutta il fatto che ogni algebra di un gruppo semisemplice,
complessificata
ammette una sottoalgebra reale di un gruppo compatto per dimostrare
la completa riducibilit� e poi teoremi che affermano l'esistenza di
omomorfismi
fra i gruppi dati gli omomorfismi fra le algebre. In particolare
risulta che SL(2,R) e molti altri gruppi, tutti i gruppi semisemplici, per
l'appunto,
sono rappresentabili mediante il trucco di unitariet� di Weyl
(estrazione di un'algebra con esponenziale compatto e semplicemente
connesso)
Infine, un altro teorema permette di capire meglio in che quadro si
contestualizza
il fatto che SL(2,C) riveste SO(3,1)+ si tratta della circostanza che ogni
gruppo
semplicemente connesso la cui algebra � omomorfa all'algebra di un altro
gruppo pu� essere immerso in quel gruppo mediante un unico omomorfismo che
ne conserva localmente la mappa esponenziale (ovvero e^f(x) = F ( e^x ) dove
f � l'omomorfismo fra le algebra ed F l'omomorfismo) . Quello che c'�
di relativamente nuovo rispetto ai risultati noti da pi� tempo �
essenzialmente
questo teorema che � degli anni settanta.

C'� poi la costruzione di Weyl, che essenzialmente permette di rivedere
le azioni aggiunte sui generatori come trasformazioni geometriche
semplici in uno spazio vettoriale. Questa costruzione � anche
alla base della tecnica generale di costruzione del gruppo di Spin
associato ad un'algebra di Clifford.

> Nel nostro esempio, da cio' discende che le rappr. irr. di sl(2,C)
> sono le stesse di so(4).
 
> Vi torna?

Si di certo. Nella fattispecie � semplice scriverle esplicitamente.
Usando l'algoritmo di salita e discesa del classicissimo momento
angolare. La generalizzazione di questa tecnica va sotto il nome di
teoria di Borel Weil. (Weil e non Weyl). Tutti questi metodi conducono
ad interpretazioni geometriche. Analoghe della costruzione delle
mappe di omotopia di S^3 in S^3 che stanno alla base dell'interpretazione
geometrica delle rappresentazioni di SU(2). Nel caso dei gruppi
che ammettono sottogruppi non compatti, ovvero se l'azione del gruppo
� stabile su variet� a curvatura negativa. Ad esempio esistono le
mappe di Cremona che trasformano i sottospazi di invarianza di un
dato gruppo in sottospazi di invarianza di gruppi a prima vista distinti.

> Certamente non ho detto niente di nuovo (ci mancherebbe :-) ) ma
> almeno ho messo in ordine cose che avevo insegnato oltre 40 anni fa,
> senza averle capite per bene :-))
>
>
> --
> Elio Fabri
>

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