Il 01 Set 2007, 09:07, Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com> ha scritto:
> Ciao Tetis, non ho capito molto bene la logica di quello che hai
> scritto...
>
> On 31 Ago, 16:07, lje..._at_yahoo.it (Tetis) wrote:
>
> > ... SL(2,C) non � esponenziale. Ricerca del controesempio
> > dal Brian C. Hall: sia Y in SL(2,C)
> >
>
> vediamo
>
>
> > sia X tale che e^X = Y allora X ha traccia
> > nulla. X ha due autovalori di segno contrario.
> > Ma poich�
> > Y non � diagonalizzabile nemmeno X pu� essere diagonalizzabile,
>
>
> Non capisco bene... Perch� Y non dovrebbe essere diagonalizzabile?
Riscrivo: X ha due autovalori di segno contrario, se sono distinti
allora e^X � diagonalizzabile. Ovvero sono coincidenti e quindi
nulli, allora e^X � simile ad un blocco di Jordan con due autovalori
coincidenti e pari all'unit�. Ma poich� SL(2,C) contiene elementi
simili a blocchi di Jordan, con due autovalori coincidenti pari
all'opposto dell'unit�, segue la tesi che SL(2,C) non � esponenziale.
> Se capisco bene la logica � questa: se Y � in SL(2,C) e NON �
> diagonalizzabile, ma si scrive in modo esponenziale, allora Y � simile
> a ( Id + X ) ed ha quindi 1 come autovalore.
> La Z che dici sopra � in SL(2,C), non � diagonalizzabile ed ha come
> unico autovalore -1.
> Pertanto Z non � esponenziale.
Esatto.
>
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>
> Quindi si ha la seguente situazione che non mi aspettavo proprio
>
> 1) SL(2,C) (rivestimento universale di SO(3,1)+^) NON � esponenziale
> ma
> 2) il gruppo di Lorentz ortocrono proprio SO(3,1)+^ E' esponenziale.
>
> Molto interessante. Avrei detto il contrario. Quindi la semplice
> connessione non c'entra proprio un tubo (come fai notare anche tu) con
> l'esponenzialit�,
A dire il vero di questo non sono ancora convinto, per metterci su un
piano di comunicazione devo spiegare esattamente quale � l'intuizione
geometrica della situazione.
Si pu� anzitutto notare che sembra plausibile che se
esiste una base di sottogruppi ad un parametro (ovvero le geodetiche del
gruppo)
che hanno ciascuno
gruppo di omotopia Z allora la componente dell'unit� del gruppo � compatta
e quindi il gruppo � esponenziale. (per base si intende che i generatori
infinitesimi dei singoli sottogruppi formano una base dell'algebra del
gruppo)
I gruppi toroidali per esempio sono esponenziali. SU(2) quando
consideriamo la base dei generatori di Pauli d� luogo a tre sottogruppi
di tipo U(1). Si tratta di tre cerchi ortogonali in S^3 che formano un
sistema di coordinate per S^3.
Il gruppo SL(2,C) come il gruppo SO(3,1)^+ ha sia geodetiche
di tipo cerchio, che geodetiche di tipo iperbole. Sembra plausibile che
l'esistenza di geodetiche "aperte" di tipo iperbolico sia una condizione
necessaria perch� il gruppo _non_ sia esponenziale. Un gruppo
di Lie pu� essere pensato come una variet� minima.
La differenza fra SL(2,C) ed SO(3,1)^+ sembra essere legata
alla differente estensione delle geodetiche. SL(2,C) � una variet�
6 dimensionale. 3 di queste dimensioni si ripiegano a formare
un sottogruppo SU(2), le altre tre dimensioni "ortogonali" (si pu�
dare un senso preciso a questa nozione di ortogonalit�) sono generate
dai generatori del sottogruppo SU(2) moltiplicati per l'unit� immaginaria.
Questa � in nuce una base di intuzione geometrica che pu� condurre
alla rappresentazione polare.
Qualcosa di analogo si pu� fare con SL(2,R) abbiamo in quel caso
il sottogruppo U(1) e la parte iperbolica bidimensionale.
Ora veniamo alla misteriosa identit� ho forse trovato l'origine di
questa confusione, ma non la soluzione.
L'idea, che mi sembra abbastanza brillante, � illuminata da B.C. Hall
ed � che avendo un gruppo semplicemente connesso G, G = SL(2,C),
dato un'omomorfismo f di algebre fra l'algebra di G: g e l'algebra di un
gruppo H: h , di cui il primo semplicemente connesso, esista
un unico omomorfismo da G in H: F tale che F(e^X) = e^(f(X))
per tutti gli X in g.
Dal momento che esiste un omomorfismo fra sl(2,C) ed su(2) + su(2)
e che SL(2,C) � semplicemente connesso allora esiste un omomorfismo
da SL(2,C) in SU(2) x SU(2) tale che la parte esponenziale di SL(2,C)
possa essere immersa in SU(2) x SU(2). Ma nel nostro caso � vero
anche il contrario, perch� fortunatamente anche SU(2) x SU(2) �
semplicemente
connesso, oltrech� compatto.
Esiste in particolare un isomorfismo fra le algebre dei due
gruppi e questo isomorfismo infinitesimo d� luogo a due omomorfismi
il primo da G ad H il secondo da H a G, univocamente determinati in modo
che F(exp(x)) = exp(f(x)) ed exp(f^(-1)(y)) = H(exp(y)). Componendo F con H
ed H con F risulta facilmente che H ed F sono uno l'inverso dell'altro nei
rispettivi domini di definizione. A questo punto nel corollario 3.8 B.C.Hall
conclude che quindi, se G ed H sono semplicemente connessi e le
rispettive algebre isomorfe, G ed H sono isomorfi. Allora se:
1) SL(2,C) ed SU(2) x SU(2) sono semplicemente connessi
2) sl(2,C) � isomorfa ad su(2) + su(2)
dovrebbe essere che SL(2,C) � isomorfo ad SU(2) x SU(2).
In particolare se SU(2) x SU(2) � semplicemente connesso, essendo
compatto � esponenziale e siccome esiste un omomorfimo di su(2) + su(2)
in sl(2,C) ed SU(2) x SU(2) allora per x,y esiste z in su(2) + su(2) in
modo che exp( x ) x exp ( y ) = exp( z ) . Dunque:
e^(h(z)) = H(e^z) = H( exp(x) x exp(y) ) = H( exp(x) ) x H(exp(y) ) =
exp(h(x)) exp(h(y) ) =
e^(h(x)) e^(h(y)).
Ora in particolare anche a prescindere dal corollario enunciato da B.C. Hall
ho questo risultato paradossale: se h � un isomorfismo ne segue facilmente
l'esponenzialit�
di SL(2,C). Con ovvio paradosso. Ma quale premessa � sbagliata in questo
ragionamento? Ovvero quale punto del ragionamento � sbagliato?
SU(2) x SU(2) � semplicemente connesso,
SL(2,C) � semplicemente connesso,
SU(2) x SU(2) � compatto,
l'algebra di SU(2) x SU(2) � isomorfa all'algebra di SL(2,C),
il teorema di esistenza degli omomorfismi fedeli alle rappresentazioni
esponenziali, il fatto che un gruppo compatto � esponenziale.
Mi sento davvero confuso.
> dato che il primo dei due gruppi � semp. connesso,
> ma non lo � il secondo.
>
> Ciao, Valter
>
> PS. la dim di esponenzialit� del Lorentz, come ho detto, si trova su
> un libro di GS Hall, il tuo controesempio si trova su un libro di B.
> C. Hall. Che buffa coincidenza di cognomi.
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Received on Mon Sep 03 2007 - 19:44:07 CEST