Re: equivalenza O(3) con SU(2) [O(1,3)+^ è esponenziale!]

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Mon, 03 Sep 2007 13:18:01 -0700

On 3 Set, 19:52, Elio Fabri <elio.fa..._at_tiscali.it> wrote:

>
> > ...
> > Quindi si ha la seguente situazione che non mi aspettavo proprio
> > 1) SL(2,C) (rivestimento universale di SO(3,1)+^) NON � esponenziale
> > ma
> > 2) il gruppo di Lorentz ortocrono proprio SO(3,1)+^ E' esponenziale.
>
> Posso fidarmi? Perche' non e' che abbia capito molto il ragionamento.
> Sara' la vecchiaia?
>

Secondo me, su questo punto ora non ci sono pi� dubbi. La
dimostrazione che SO(3,1)+^, la trovi sul libro che ho citato (ora non
l'ho pi� sottomano). Quella del fatto che SL(2,C) NON sia esponenziale
l'ha data Tetis (mi pareva giusta) e comunque l'ha tratta da un libro
anche lui, che mi pare abbia citato. La dim che SL(2,R) non �
esponenziale l'ho postata io in un altro post.

> Tanto che ci sono, una domanda.
> SO(4) e' seplicemente connesso? (sospetto di no). Oppure?
> E in generale SO(n)?
>

non saprei, ci dovrei pensare...

> Tetis ha scritto:
>
> > ...
> > Ok, ma c'� dell'altro, e non mi � del tutto chiaro. La situazione
> > � questa: SL(2,C) � localmente isomorfo ad SU(2)xSU(2),
> > entrambi questi gruppi hanno lo stesso gruppo fondamentale.
> > (Sono globalmente isomorfi o sono gruppi affatto distinti?)
>
> Valter Moretti ha scritto:> ...
> > Riguardo all'isomorfismo locale tra SL(2,C) e SU(2) x SU(2),
> > sicuramente non � globale:
> > ...
>
> Ho capito, debbo essere rincitrullito :-(
> Perche' vi ci mettete in due a dire una cosa secondo me sbagliata...
> A mio parere SL(2,C) e SU(2)xSU(2) *non sono* neppure localmente
> isomorfi: le loro algebre di Lie sono diverse!


ah ah ah, hai RAGIONE. Per la verit� io non ci ho nemmeno pensato, ho
preso come vero
quello che ha scritto Tetis: che c'� un isomorfismo locale tra SL(2,C)
e SU(2)X SU(2) e sono andato avanti di conseguenza. Ma hai ragione, le
costanti di struttura vengono diverse !!!

> E' solo attraverso l'espediente della complessificazione che si
> stabilisce un isomorfismo, che in questo caso non so come si chiami...
>

neanche io ma � chiaro cosa succede se uno passa a parametri
complessi, ma questo stravolge tutto e non si ha pi� un isomorfismo di
algebre di Lie e quindi nemmeno l'isomorfismo locale...

> E' invece vero che sono localmente isomorfi SO(4) e SU(2)xSU(2); il
> che fornisce la risposta alla mia domanda di cui sopra: SO(4) *non e'*
> semplicemente connesso, e il suo gruppo fondamentale e' SU(2)xSU(2).
>
> E' tutto sbagliato quello che ho scritto?
> Attendo con ansia ;-)

non ne ho idea non ho mai lavorato con tali gruppi, dovrei fare i
conti e non ne ho il tempo (nemmeno la voglia).

>
> P.S. Sono stato via una settimana, e vi ritrovo ancora sullo stesso
> problema. Mi fa piacere :)

Sullo stesso problema si, ma abbiamo fatto notevoli passi avanti, a
parte la cantonata ultima...
Ciao, Valter
Received on Mon Sep 03 2007 - 22:18:01 CEST