Il 30 Ago 2007, 15:47, Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com> ha scritto:
>
>
> Ciao a tutti,
>
> ho finalmente trovato una dimostrazione del fatto che il gruppo
> ortocrono proprio di Lorentz sia esponenziale ponendo fine ad una mia
> curiosit� che avevo da sempre. E' il teorema 6.5 del recente libro
> "Symmetries and Curvature Structure in General Relativity" di G.S.
> Hall, World Scientific 2004. La dimostrazione � diretta e non usa
> niente di pi� di propriet� algebriche dopo avere decomposto ogni
> trasformazione di Lorentz in modo non canonico usando cosiddette "null
> tetrads" e lavorando nei complessi (senza usare il ricoprimento
> universale per�)...
In effetti risulta che la situazione per SO(3,1) � differente che per
SO(3) la differenza � proprio nel fatto che SL(2,C) non � compatto.
Non solamente. SL(2,C) non � esponenziale. Ricerca del controesempio
dal Brian C. Hall: sia Y in SL(2,C)
sia X tale che e^X = Y allora X ha traccia
nulla. X ha due autovalori di segno contrario. Ma poich�
Y non � diagonalizzabile nemmeno X pu� essere diagonalizzabile,
residua solo il caso che X abbia gli stessi autovalori, ovvero
entrambi gli autovalori sono zero. X � simile allora
matrice nilpotente multipla del blocco di Jordan N:
0 1
0 0
quindi Y � simile ad ( Id + X ) che per� ha 1 come autovalore
doppiamente degenere. Tuttavia Z
-1 1
0 -1
appartiene ad SL(2,C) (nonch� ad SL(2,R)). Questo controesempio
ha molteplici conseguenze rispetto ad alcune affermazioni
di cui mi ero convinto, forse maleinterpretando alcune pagine on-line:
1) Se un gruppo � semplicemente connesso e
se A e B sono due suoi elementi allora esiste X = ln( e^A e^B )
tale che e^X = e^A e^B.
In altre parole la formula di Baker Hausdorf Campbell
� verificata globalmente.
In effetti se anche questa affermazione � verificata non basta
a concludere che X � un elemento dell'algebra di Lie.
Controesempio:
A
i pi/2 0
0 i pi/2
B = -N
risulta che e^A e^B = Z e Brian C. Hall mi ha convinto che
se ln(Z) esiste non � in sl(2,C).
2) La ragione per cui BHC non verifica in questo caso non �,
diversamente da come intuivo, che
la serie di Taylor di ln ( 1 + T ) converge se || T || < 1
(con riferimento alla norma data dalla radice quadrata della
somma dei quadrati degli elementi di T ) ma pu� non
convergere se || T || > 1. In particolare, nel caso in specie
T vale:
-2 1
0 -2
e la funzione logaritmo non converge in norma.
Infatti questo non significa affatto che non esiste
X in modo che e^X = 1+T. Significa solo che se X
esiste non � valutabile dalla serie di Taylor di ln(1+T).
In effetti risulta che ogni matrice invertibile � l'esponenziale
di una matrice complessa.
3) la circostanza che esiste un sottogruppo
di SL(2,C), nella fattispecie SL(2,R) che non � semplicemente
connesso, ma ha gruppo fondamentale Z � forse ancora
un criterio sufficiente alla non esponenzialit� del gruppo.
> Ciao, Valter
>
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Received on Fri Aug 31 2007 - 16:07:30 CEST