Il 23 Ago 2007, 19:17, ljetog_at_yahoo.it (Tetis) ha scritto:
> Il 22 Ago 2007, 17:38, brfil_at_libero.it (Filiberto) ha scritto:
> > Il 21 Ago 2007, 19:56, ljetog_at_yahoo.it (Tetis) ha scritto:
> > Su un libro avevo trovato una dimostrazione
> > > della non esponenzialit� di SL(2,R), ma non era basata su un esempio,
> > > bens� su una considerazione generale.
> >
> >
> > Scusa ma se fosse vera questa cosa i fisici sbagliano praticamente tutti
i
> > giorni a considerare l'esponenziale del gruppo di Lorentz. No?
>
> Stiamo parlando di due gruppi differenti. SL(2,R) ed SL(2,C).
> In particolare se scrivi i generatori di SL(2,R) vedi che uno dei
> tre � nilpotente. Nel caso SL(2,C) invece i generatori si arrangiano
> in due classi che commutano mutuamente infatti SL(2,C) � localmente
> isomorfo ad SO(4) e ad SU(2) x SU(2) e non sono presenti generatori
> nilpotenti.
Inesattezza. L'algebra di SL(2,C) pu� essere ottenuta, ovviamente,
complessificando l'algebra di SL(2,R) quindi si trovano due generatori
nilpotenti. Ma per un piano bidimensionale in sei dimensioni un
loop pu� essere sempre ridotto ad un punto. Mentre una retta in
tre dimensioni, circondata da una spira non permette alla spira di
essere ridotta ad un punto.
Esiste in particolare una parametrizzazione di SL(2,R) che ho trovato
mentre giocava con i generatori del gruppo che � molto istruttiva,
soffermandomi sull'interpretazione geometrica delle trasformazioni
che conservano l'area:
ogni elemento di SL(2,R) � simile ad una trasformazione diagonale
mediante una trasformazione di SO(2).
I generatori di SL(2,R) possono essere ricondotti a quelli di SU(2),
ricordando che in SU(2) uno dei tre generatori non � reale: s_y, se
non erro, si pu� utilizzare in effetti i*s_y/2 come elemento dell'algebra di
SL(2,R). Risulta allora un'algebra le cui regole di commutazione
sono [a_i, a_j] = eps_ijk a_k posto a1,3= s_1,3/2 ed a2=s_2/2.
Con l'usuale identificazione 1-x 2-y 3-z. La combinazione lineare
di queste matrici � sempre una matrice a traccia nulla e quindi
conserva l'area.
L'esponenziale dei generatori di
a_x ed a_z , nella rappresentazione in cui a_z � diagonale, ed a_x
hermitiana, conduce a funzioni iperboliche ed esponenziali,
mentre l'esponenziale di a_y conduce a funzioni trigonometriche
circolari.
La chiave per comprendere la circostanza che SL(2,R) non �
esponenziale sta nell'interpretare in termini intuitivi il teorema
di Hausdorf - Campbell. In particolare cosa significa il raggio di
convergenza della formula di Hausdorf-Campbell. Se questa
valesse globalmente e non solamente per un intorno dell'identit�
avremmo certamente che una espressione di similutidine ad una
matrice esponenziale di qualsiasi elemento del gruppo implica
che il gruppo � esponenziale. Tuttavia non � questo il caso per
SL(2,R), diversamente che per SU(2), in quanto per le regole di
commutazione � evidente che scelti due generatori hermitiani
il terzo non pu� esserlo a sua volta. La presenza di un operatore
non autoaggiunto unitamente all'ostruzione allo scioglimento dei
loops comporta che SL(2,R) pu� non essere geodeticamente completo,
ovvero che la formula di Baker-Hausdorf-Campbell non sia
verificata per ogni coppia di elementi dell'algebra. Se il gruppo
di Lie � semplicemente connesso vale la formula di Baker Hausdorf Campbell
globalmente, e se inoltre vale una qualche parametrizzazione
in termini di coniugio da mappe esponenziali allora il gruppo �
esponenziale.
Ad esempio SL(2,C) � semplicemente connesso ed il gruppo di Lorentz,
di cui SL(2,C) � il rivestimento universale � tale che ogni elemento pu�
essere ridotto ad un boost a meno di una rotazione spaziale. Quindi SL(2,C)
� esponenziale, in quanto sia i boost che le rotazioni sono elementi
esponenziali semplici.
Chiarito questo non resta che scrivere esplicitamente
la mappa esponenziale di sl(2,R), o mostrare che SL(2,R)
non � geodeticamente completo (mentre lo � SL(2,C)).
Ancora: SL(2,C) � semplicemente
> connesso, mentre SL(2,R) che � il gruppo simplettico delle trasformazioni
> che conservano l'area dello spazio delle fasi dei sistemi unidimensionali
> ha gruppo fondamentale di omotopia Z.
> > Il Ryders come si pu� leggere sull'altro post considera l'esponenziale
del
> > gruppo di Lorentz che mi insegnate essere omomorfo a SL(2,C)
> > Io credevo che fosse una cosa ampiamente conosciuta e invece ci sono
molte
> > perplessit� ancora. Forse bisognerebbe chiedere a qualche fisico teorico
> > molto bravo... tipo Cabibbo.
> >
> > Cordiali saluti,
> >
> > Filiberto
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> > Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
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Received on Thu Aug 30 2007 - 04:06:52 CEST