Ciao a tutti. Supponiamo di avere grandezze X, Y e un set di N misure di
coppie (Y_i, X_i) in cui mi aspetto una relazione Y = f(X) fortemente
lineare.
Attraverso un fit lineare posso trovare la migliore stima dei parametri M e
Q che definiscono la retta di equazione
Y = f(X) = M*X + Q
Le espressioni per M e Q in funzione delle misure si trovano su tanti
testi... nel caso in cui si suppone che le X_i non siano affette da errore
la formula �:
M = Cov(X,Y)/Var(X)
Q = <Y> - M*<X>
dove <..> sono i valori medi.
Una volta eseguito il fit, posso calcolarmi le f(X) del fit associate alle
mie misure X_i e verificare le differenze tra predizioni e misure:
f(X_i) - Y_i
Ora, se immagino che le N misure vengano ripetute (e "fittate") tante volte,
posso verificare la distribuzione di queste differenze f(X_i) - Y_i. Mi
aspetto che questa distribuzione sia gaussiana, centrata in zero e
caratterizzata da una certa larghezza L.
Ora, diciamo che le misure originarie Y_i siano affette tutte dalla stessa
incertezza S. Mi aspetto naturalmente che la larghezza della distribuzione
di f(X_i) - Y_i sia legata a tale incertezza S. Per� la differenza tra
valore misurato e valore atteso sar� dovuta non solo all'incertezza sulla
misura Y_i, ma anche all'errore di estrapolazione sul fit, che in qualche
modo � comunque legato a S. Voglio dire, i parametri M e Q stimati avranno
anche loro delle incertezze S(Q) e S(M), che rifletteranno le incertezze
sulle Y e eventuali deviazioni dalla linearit�. Di conseguenza, per una data
X_i, la relativa f(X_i) associata si porter� dietro un'incertezza S(f_i),
quindi la larghezza L della distribuzione f(X_i) - Y_i avr� due contributi
(da sommare in quadratura...?) uno dovuto alla misura di Y (che � S) e uno
dovuto all'errore del fit (che � S(f)), cio�
L^2 = S^2 + S(F_i)^2
E' giusto? Come posso calcolare l'incertezza relativa al fit? Esiste qualche
formuletta?
Grazzzie!
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Received on Mon Aug 27 2007 - 11:52:12 CEST