Re: equivalenza O(3) con SU(2)

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Tue, 28 Aug 2007 06:57:51 -0700

On Aug 20, 9:40 pm, Elio Fabri <elio.fa..._at_tiscali.it> wrote:
>
> > Non ho mai letto la dimostrazione e nemmeno ci ho pensato, ma
> > credo che gi� per il gruppo ortocrono proprio di Lorentz NON sia
> > possibile esprimere *ogni* elemento come l'esponenziale di un
> > corrispondente elemento dell'algebra di Lie.)

> Come non e' possibile! Si fa tutti i giorni :-)
> Vorrei proprio vedere un controesempio...

Non ce l'ho. Tuttavia la mia sensazione � quella che ho detto. D'altra
parte non ho mai incontrato (in decine di libri sui gruppi di Lie) la
dimostrazione del fatto che l'esponenziale dell'algebra di Lie del
gruppo di Lorentz ortocrono proprio ricopra tutto il gruppo e non ho
trovato mai nemmeno una dimostrazione nelle applicazioni in fisica
dove tale fatto fosse essenziale (in tutti i casi che ho incontrato
bastava che ogni elemento fosse il prodotto di qualche
esponenziale...e questo � sempre vero)


> > "The exponential map from the Lie algebra to the Lie group is not
> > always onto, even if the group is connected (though it does map onto
> > the Lie group for connected groups that are either compact or
> > nilpotent). For example, the exponential map of SL(2,R) [quello che ho
> > indicato sopra con Sp(2)] is not surjective."
>
> Che cosa vuol dire nilpotente (detto di un gruppo)?

non lo so, forse vuol dire che l'algebra di Lie � nilpotente (ma non �
detto), dovrei cercare su qualche libro e non ho tempo...

> Quanto a SL(2,R) o Sp(2) che dir si voglia, confesso che igruppi
> simplettici li ho frequentati assai poco, per cui non ne ho una
> conoscenza intuitiva come in altri casi.
> Pero' sono alcuni giorni che tento invano di trovare anche qui il
> controesempio. Eppure dovrebbe essere facile :-(

Ricordo che, come conseguenza di una dimostrazione su un articolo di
teorie conformi che ho scritto nel 2004 o 2005 mi sono accorto che le
matrici di SL(2,R) della forma

 -exp a 0
   0 -exp(-a)

non appartengono ad alcun sottogruppo ad un parametro che esce
dall'identit�, se a>0.
Purtroppo non ho scritto la dimostrazione. Ora non ho tempo per
rileggere tutto e cercare di capire come mi era venuta in mente una
cosa simile.

Ciao, Valter
Received on Tue Aug 28 2007 - 15:57:51 CEST