Re: equivalenza O(3) con SU(2)

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Tue, 28 Aug 2007 07:10:17 -0700

On Aug 16, 4:55 pm, br..._at_libero.it (Filiberto) wrote:
> Il 15 Ago 2007, 10:10, Valter Moretti <vmoret..._at_hotmail.com> ha scritto:
>
> Scusa che cos'� il gruppo ortocrono proprio di Lorentz??

E' il sottogruppo delle matrici di Lorenta che non invertono il tempo
e la parit�.

> E' quello che in fisica chiamiamo banalmente gruppo di Lorentz costituito da
> sei generatori: le tre rotazioni e i tre boost di Lorentz??

si � quello. Il gruppo di Lorentz "vero" � dato invece dalle matrici
4x4 che lasciano invariata la metrica di Minkowski. Si tratta di un
gruppo pi� grande di quello di sopra, perch� contiene anche le
trasformazioni dell'inversione del tempo e della parit� (che hanno una
grande importanza in fisica!).

> Inoltre il fatto che ogni elemento si pu� esprimere come l'esponenziale lo
> usiamo anche nel gruppo SU(2) quando facciamo lo sviluppo per piccoli
> angoli. Questo sviluppo in serie mi pare che giustifichi la definizione
> della matrice di SU(2) come exp [(i sigma .alfa)/2].

Questo � un teorema. SU(2) � definito come il gruppo (di Lie reale)
delle matrici unitari.
POI si dimostra che ogni matrice unitari si scirve come l'esponenziale
di una matrice anti hermitiana.

> Fare l'esponenziale e
> dire che l'intorno deve essere sufficientemente piccolo � la stessa cosa
> vero??

non ho capito bene, ma non mi pare proprio. Forse vuoi dire che per
ogni gruppo di lie, se prendiamo un elemento abbastanza vicino
all'identit� questo si scrive in forma esponenziale. Questo � vero.
Noi discutevamo se questo � vero comunque prendi lontano dall'identit�
l'elemento del gruppo e per TUTTI i gruppi di lie. Per SU(2) e SO(3) �
vero. Per SL(2,R) � falso. per il gruppo di Lorentz?

> Queste raffinatezze sulla teoria dei gruppi in che corsi dovrebbero essere
> studiati??

Credo che tu parli per fisica, per matematica si insegnano in vari
corsi di teoria dei gruppi (a vari livelli, partendo da geometria 2),
anche se rare volte si entra in esempi pratici come il gruppo di
Lorentz.
Io tengo anche un corso che si chiama "metodi geometrici in fisica
matematica"(seguito quasi solo da fisici), a volte metto nel programma
un po' di queste cose. Qualcosa si potrebbe fare anche nei corsi di
metodi matematici per la fisica...

> I gruppi di Lie so che vengono introdotti in un corso della vecchia
> geometria 2, l'attuale geometria 3 e 4, probabilmente ma a fisica queste
> cose non ce le insegna nessuno. Vero Elio??

secondo me hai ragione!

> Cordiali saluti,

> Filiberto


Ciao, Valter
Received on Tue Aug 28 2007 - 16:10:17 CEST