Il giorno domenica 23 settembre 2018 21:20:02 UTC+2, a_the_an ha scritto:
>...
> Salve, intervengo ora perche' ho letto gli
> interventi dei signori Elio e Wakinian
> precisamente del 30 agosto, una settimana fa,
> e mi ci e' voluto una altra settimana per
> riflettere, digerire e raccapezzarmi
>
Solo? Beato te! A me ci sono voluti anni! :-)
>
> Ho trovato online un testo (appunti) di
> meccanica razionale che fa al caso mio,
> perche' tratta nel dettaglio tutti questi aspetti
> (Noether compresa), inoltre la impostazione
> classica mi sembra migliore di quella del testo
> precedente di Marro.
>
Che testo è?
>
> Prima mi rivolgo a Wakinian. La tua risposta mi
> fa capire chiaramente il succo del discorso (i
> dettagli tecnici a dopo): data la L della
> grandezza, se si varia solo un parametro e essa
> non e' suscettibile di variazione, allora resta
> provato che si conserva e che e' irrilevante
> assumere invarianza per quella trasformazione,
> perche' essa segue necessariamente.
>
Perdonami ma non ho capito nulla. Facciamo un esempio concreto. Una biglia metallica di massa m e che per questo caso si puo’ considerare puntiforme, e' collegata ad un estremo di una molla ideale di massa trascurabile e costante k, l'altro estremo della quale e' vincolato ad una parete; il tutto e' posto su un piano orizzontale liscio (no attriti) e si considera un moto unidimensionale con coordinata posizionale x; come saprai tale moto risulta essere il classico “moto armonico”: x(t) = A*cos(wt) + B*sin(wt), con A e B che dipendono da posizione e velocita’ iniziali.
La Lagrangiana del sistema fisico "biglia metallica” e’:
L(x, x’) = T - V
T = energia cinetica della biglia = ½ m x’^2;
V = energia potenziale della biglia nel campo di forze elastiche (conservativo in quanto la molla e’ ideale) = k*x;
x = spostamento della biglia rispetto alla posizione d’equilibrio della molla;
x’ = dx/dt.
L(x, x’) = ½ m x’^2 - k*x
Prima di utilizzare la Lagrangiana chiediamoci se possiamo gia’ capire quale grandezza del sistema fisico “biglia metallica” e’ conservata.
La quantita’ di moto certamente no: in alcuni istanti la biglia ha addirittura velocita’ nulla, poi la velocita’ aumenta in modulo fino a raggiungere un valore massimo, poi diminuisce fino a 0, ecc.
Ora analizziamo cosa succede alla lagrangiana facendo una traslazione delle coordinate spaziali. Qui ne abbiamo una sola: x. La traslazione consiste in:
x -> x + s
cioe’ la coordinata x viene traslata di una quantita’ fissa s ovvero x viene trasformata in x + s.
In cosa viene trasformata la velocita’ x’? Si deriva rispetto al tempo e si ricorda che s e’ fissa:
x’ -> x’
ovvero la velocita’ non cambia.
In cosa viene trasformata la Lagrangiana?
L(x, x’) = ½ mx’^2 - kx --->
(ad x e x’ sostituisco le loro trasformate) --->
---> ½ mx’^2 - k(x+s) = L(x, x’) - ks
che /e’ diversa/ da quella precedente per il termine - ks.
Conclusione: la Lagrangiana NON E’ invariante per traslazione della coordinata spaziale e dunque la (corrispondente) quantita’ di moto non si conserva, in accordo con quanto si era trovato precedentemente analizzando il tipo di moto.
Adesdo trasliamo invece il tempo. Come viene trasformata la Lagrangiana? Semplice, in questo caso L nemmeno dipende esplicitamente dal tempo (L = L(x, x’) cioe’ dipende esplicitamente /solo/da x e x’) quindi l’energia sara’ conservata. Questoblo si puo’ facilmente capire dal fatto che le forze (la forza elastica) e’ conservativa.
Alla luce di questo esempio, che significa la tua frase:
“data la L della grandezza, se si varia solo un parametro e essa non e' suscettibile di variazione, allora resta provato che si conserva e che e' irrilevante assumere invarianza per quella trasformazione, perche' essa segue necessariamente”?
…
> Per es. nella parte incriminata, nel dettaglio si legge:
> «In *qualsiasi istante* la qdm totale del sistema dei due corpi vale
> P = p1 + p2,
> che possiamo valutare prima, dopo e durante la collisione... »
…
> e qui era sorto il dubbio per via del confronto con la dimostrazione di cui
> sopra, in particolare quel *in qualsiasi istante* mi aveva fatto pensare a
> un ricorso anche alla invarianza di tipo temporale
>
No, vuol semplicemente dire che /p1+p2 e’ costante nel tempo/.
28/09/2018 1:19
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Wakinian Tanka
Received on Fri Sep 28 2018 - 01:19:36 CEST