Il 08 Ago 2007, 14:26, brfil_at_libero.it (Filiberto) ha
scritto:
> Il 07 Ago 2007, 18:34, ljetog_at_yahoo.it (Tetis) ha
scritto:
>
> > Vedo che Elio Fabri ha dato una spiegazione
> > mettendo in evidenza la sostanza del discorso che
forse era
> > andata persa nel testo a cui ti sei riferito. Per�
voglio provare
> > ad entrare nei dettagli di quello che hai scritto
per vedere se
> > riusciamo a correggere eventuali errori o
difficolt� di lettura.
> > In verit� tutte le matrici unitarie speciali di
SU(2) si parametrizzano
> con
> > due parametri complessi a e b quindi i parametri
reali sono quattro,
> > tuttavia c'� un vincolo da considerare |a|^2 +
|b|^2 = 1.
> >
> > la matrice �:
> >
> > a b
> > -b* a*
> >
> > il cui determinante � appunto |a|^2 + |b|^2.
>
> Bravissimo! Questa � proprio la matrice che
intendevo!
Ok, nota in particolare che il secondo vettore �
ortogonale al primo ed insieme formano una base ortogonormale di
C^2.
Nella fattispecie, inoltre esiste una mappa di C^2 in
C^2 f: (a,b) -> (-b*,a*) (-i s_y csi*) con la propriet�
che la trasformazione indotta da questa mappa a partire da un elemento U di
SU(2)
su csi = (csi_1, csi_2) � -i s_y (U csi)* = U (-i s_y
csi*).
Questo succede perch� dato un vettore csi il suo
complemento ortogonale
in C^2 � uno spazio unidimensionale.
In particolare se arrangi i due vettori csi ed f(csi) in
una matrice hai una matrice unitaria e di conseguenza
per la formula di Binet se A � in SU(2) risulta che
f(A csi) = A f(csi).
> > la parte reale e la parte immaginaria degli
elementi fuori diagonale.
> > questi tre numeri formano un vettore convenzionale
(x1,x2,x3) associato
> > con csi x csi+ :
> >
> > -x3 (x1- i x2)
> > (x1+i x2) x3
>
> Questi due cosa rappresentano? Sono gli spinori? Boh
questo non l'ho capito.
Ogni matrice 2x2 hermitiana a traccia nulla �
rappresentata
come x1 s_x + x2 s_y + x3 s_z. La trasformazione
aggiunta di
questa matrice 2x2 sotto azione del gruppo di Lie
SU(2) in termini
del vettore (x1,x2,x3) risulta in una matrice di SO(3)
che agisce su
(x1,x2,x3). Allo spinore ortogonale a csi, che
costruisci
in seguito � associata ugualmente una matrice
hermitiana, a traccia
nulla, diversamente da quel che dici e che non
capisco, questa matrice
corrisponde con il vettore opposto (-x1, -x2, -x3).
L'osservazione di
prima quindi si traduce in qualcosa di estremamente
pi� semplice.
L'azione indotta mediante la mappa di coniugio
ortogonale da una
trasformazione ortonormale � identica per il vettore
iniziale e per il
suo coniugato. O(-x) = - Ox Ovvero l'inversione
spaziale commuta
con le rotazioni.
Cosa succede ora se in R^3 identifichiamo x con -x?
Ovvero identifichiamo
i punti opposti di S^2? Otteniamo quello che si chiama
modello ellittico
della geometria sferica due dimensionale,
limitatamente ad S^2, nonch�
una mappa dello spazio proiettivo 3-dimensionale.
L'azione di SU(2)
su questo spazio � coerente. Cio� quello che fa il tuo
libro si pu� fare.
Inoltre l'azione di -Id (elemento di O(3)) in questo
spazio coincide
con l'azione di Id.
Tornando un passo indietro possiamo anche osservare
che
ad ogni elemento di SU(2) possiamo indifferentemente
associare due matrici di rappresentazione dell'azione
aggiunta entrambe in O(3). Ma solamente met� formano
un gruppo SO(3): sottogruppo di O(3), mentre l'altra
met� sono una classe laterale
del sottogruppo. Ovvero SU(2) puoi immergerlo in O(3)
in duplice
copia, mediante un omeomorfismo locale intorno
all'identit� ed
a -Id, che risulta in due distinte funzioni non
invertibili a livello globale.
In altre parole identificando gli opposti di S^3
otteniamo una mappa
fedele di SO(3). Considerando una duplice copia di
SO(3) otteniamo
una mappa di O(3).
> > E' immediato riconoscere che a spinori opposti
corrispondono
> > vettori uguali. (le matrici sono uguali quindi
anche le componenti
> > (x1,x2,x3)).
> > Risulta inoltre che il quadrato di queste matrici
� diagonale. Infine
> > risulta che il semi-prodotto simmetrico di due
matrici � una matrice
> > diagonale e sulla diagonale ha i prodotti scalari
dei due vettori
> > convenzionali associati.
> >
> > Cosa c'� alla base di questo giochetto
> > di prestidigitazione? C'� la circostanza che tutte
le matrici hermitiane
> > a traccia nulla 2x2 sono combinazioni lineari di
matrici di Pauli,
> > nella fattispecie:
> >
> > x1 s1 + x2 s2 + x3 s3
> >
> > poich� il prodotto simmetrico di due matrici di
Pauli � doppio
> > dell'l'identit�
> > ottieni i risultati suddetti. La questione
delicata � che l'azione
> aggiunta
> > di una matrice U e della sua opposta sono le
medesime sullo spazio dei
> > vettori, mentre le azioni sullo spazio degli
spinori differiscono per un
> > segno. In questo senso abbiamo un omomorfismo da
SU(2) in SO(3)
> > con nucleo Z_2.
>
>
> Ottimo!!
> L'unica cosa � che non hai capito la mia domanda. So
che spiegarsi a parole
> � difficile. Dato che sei arrivato a un ottimo
punto, usando le tue
> notazioni forse riesco a spiegarmi.
> Tu sei arrivato a un punto in cui associ a ogni
spinore complesso la matrice
> csi csi +
> Il mio scopo � trovare una matrice particolare, che
chiamer� H, che si
> trasformi come questa matrice sotto trasformazioni
di SU(2). Ecco come
> faccio. Questa � la ricetta.
>
> 1) Applico la matrice generica unitaria
>
> a b
> -b* a*
>
> a uno spinore complesso a due componenti csi1
>
csi 2
>
>
> 2) Trovo il legame tra le componenti vecchie e
quelle nuove
>
> csi1' = a csi1 + bcsi2
>
> csi2' = -b*csi1 + a*csi2
>
> 3) Faccio i complessi coniugati delle due equazioni
>
> csi1'* = a*csi1* + b*csi2*
>
> csi2*' = -bcsi1* + acsi2*
>
> 4) Adesso faccio una manipolazione. Scrivo le due
equazioni precedenti in
> una forma a me comoda
>
> -csi2'* = a(-csi2*) + bcsi1*
>
> csi1'* = -b* (-csi2*) + a*csi1*
>
> Come puoi notare questa � proprio la matrice a b
applicata allo spinore
> -csi2*
>
-b* a* csi1*
>
> Ho mostrato che questo spinore si trasforma sotto
SU(2) proprio come csi 1
>
csi 2
>
> Quindi anche gli hermitiani coniugati di questi due
spinori si trasformano
> allo stesso modo (anche se questa affermazione
andrebbe dimostrata, magari
> me la dimostri tu che sei bravo)
>
> Abbiamo quindi trovato che csi + = ( csi 1, csi 2)
si trasforma come (-csi2
> , csi 1).
>
> Possiamo quindi dire che la matrice csi csi + si
trasforma sotto SU(2) come
> la matrice
>
> csi 1 (-csi2 , csi1) = - csi1csi2 csi1^2
> csi 2 -csi2^2 csi1csi2
>
> Questa matrice tanto agognata la chiamo -H. Si
trasforma come csicsi+. Ed �
> a traccia nulla. Ma non � n� hermitiana n� unitaria,
a differenza della
> csicsi+.
>
> Ora prendo la generica matrice hermitiana h, quella
che ha scritto anche
> elio fabri nel suo post, prodotto scalare tra il
vettore generico e il
> vettore formato dalle tre matrici di Pauli,
> z x - iy
> x + iy -z
>
> Questa matrice h si trasforma sotto SU(2) proprio
come H definita prima.
> Sulla base di questa considerazione il mio libro le
identifica. Cio� proprio
> eguaglia termine a termine. La domanda � si pu�
fare? Anche se le matrici
> hanno caratteristiche cos� diverse??
>
>
>
> Sono stato il pi� chiaro possibile! Meglio di cos�
non saprei proprio fare!!
>
>
>
>
>
>
>
> >
> > Per andare in dettaglio occorre dimostrare
effettivamente che
> > la rappresentazione aggiunta che abbiamo definito
� surgettiva, ovvero
> > che ogni valore di SO(3) pu� essere pensato come
immagine
> > mediante omomorfismo di gruppi di due elementi di
SU(2). Ma
> > ad ogni matrice di rotazione possiamo associare un
asse fisso
> > di rotazione, in modo che la stessa matrice M
risulta rappresentata
> > sia come rotazione intorno ad n1,n2,n3 di angolo
theta che come
> > rotazione intorno a -(n1,n2,n3) di angolo -theta.
Quindi ad ogni
> > matrice possiamo associare un'intera classe di
equivalenza di
> > vettori (x1,x2,x3) con medesima direzione e norme
che differiscono
> > per un multiplo di 2pi.
>
> Ho notato che il libro non usa mai SO(3) ma sempre
solo O(3)
> Probabilmente intende la stessa cosa.
>
>
>
> > Questa � la classe di equivalenza dei vettori v
tali che
> >
> > exp (i v S) = M.
> >
> > posto che S siano le matrici che generano le
rotazioni infinitesime
> > in R^3 = (x1,x2,x3).
> >
> > Inoltre possiamo costruire due matrici U e -U Per
l'esattezza:
> > exp [ i ( x1 s1 + x2 s2 + x3 s3)/2 ] (dove ora s
sono le matrici
> > di Pauli) che agisce sugli spinori
> > in modo che l'azione aggiunta sui vettori
corrisponda alla
> > rotazione (x1,x2,x3). La verifica � semplice a
partire dalle
> trasformazioni
> > infinitesime, si vede che il fatto che compaiano
due copie di U
> nell'azione
> > aggiunta ristabilisce il fattore uno nella matrice
di rotazione
> infinitesima
> > indotta su (x1,x2,x3).
> >
> > La periodicit�, al variare della norma,
> > per le due rappresentazioni da (n1,n2,n3)t in
SO(3) e per
> > (x1,x2,x3) in SU(2) � doppia nel secondo caso in
accordo
> > con quanto avevamo gi� stabilito che ci sono due
distinte
> > matrici di SU(2) a cui corrisponde lo stesso
elemento di
> > SO(3).
> >
> > Interpretazione geometrica in termini di sfera di
Riemann.
> > Ad ogni spinore unitario corrisponde una matrice
di SU(2)
> > (in S^3), un elemento di CP^1 (S^2) mediante
proiezione
> > canonica da C^2 nello spazio proiettivo complesso
( a
> > costo dell'informazione relativa alla fase, ad
elementi
> > opposti di S^3 corrisponde il medesimo elemento di
> > CP^1 (S^2) ) ed infine ad ogni spinore corrisponde
anche
> > un vettore di R^3. Gli elementi di SU(2) agiscono
su C^2,
> > su CP^1 (S^2)
> > e mediante azione aggiunta su R^3. A spinori
opposti
> > corrispondono identici elementi di S^2 ma elementi
opposti
> > di SU(2) con la medesima azione su S^2 ed R^3, ma
> > azione differente su C^2. In particolare le
traiettorie di cui prima
> > descrivono circonferenze dette di Clifford in S^3,
che insistono
> > sul medesimo punto di S^2.
> > Mi sembra che ci siano due cose mescolate. csi x
csi+ � hermitiana,
> > non � per� unitaria, invece csi+ x csi � un
numero. Trasformando
> > csi con la moltiplicazione a sinistra per U e csi+
con la moltiplicazione
> a
> > destra per U+ risulta che il prodotto csi+' x csi'
= csi'+ x csi' = csi+ x
> > csi �
> > conservato. Mentre csi' x csi'+ rimane hermitiano.
Quindi
> > la matrice a traccia nulla, costruita secondo la
ricetta indicata prima
> > rimane una matrice a traccia nulla.
> >
> > Appena un poco in generale quello che c'� alla
base di tutto questo
> > � la struttura di algebra di Clifford associata
agli spazi euclidei.
> Motivo
> > per cui in verit� anche SU(N) agir� sulle matrici
hermitiane N x N che
> > risultano dal prodotto di csi x csi+ - (csi+ x
csi) Id/2 , con csi
> elemento
> > di C^N conservando la traccia nulla, il prodotto
scalare definito come
> > prima e la norma unitaria. La dimensione dello
spazio vettoriale
> > euclideo associato sar� 2N - 1. (che fa tre se
N=2). Quindi analogamente
> > a prima che SU(2) -> SO(3) Ed SU(N) -> SO(2N-1)
>
> L'algebra di Clifford non l'ho mai sentita. Ho
studiato l'algebra di Lie, di
> Cartan ma Clifford mi manca. Chi era?
> Comunque mi pare una generalizzazione molto molto
interessante anche se
> forse pi� da matematici che da fisici. Sbaglio??
>
> Grazie per la tua interessantissima risposta. C'�
sempre qualcosa da
> imparare da te.
> Spero che ce ne siano altre.
>
> Cordiali saluti,
>
> Filiberto
>
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Inviato via
http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Thu Aug 23 2007 - 19:22:35 CEST