Re: equivalenza O(3) con SU(2)

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Tue, 07 Aug 2007 21:38:07 GMT

Il 07 Ago 2007, 18:34, ljetog_at_yahoo.it (Tetis) ha scritto:
> Il 01 Ago 2007, 01:54, brfil_at_libero.it (Filiberto) ha scritto:

> Appena un poco in generale quello che c'� alla base di tutto questo
> � la struttura di algebra di Clifford associata agli spazi euclidei.
Motivo
> per cui in verit� anche SU(N) agir� sulle matrici hermitiane N x N che
> risultano dal prodotto di csi x csi+ - (csi+ x csi) Id/2 , con csi
elemento
> di C^N conservando la traccia nulla, il prodotto scalare definito come
> prima e la norma unitaria. La dimensione dello spazio vettoriale
> euclideo associato sar� 2N - 1. (che fa tre se N=2). Quindi analogamente
> a prima che SU(2) -> SO(3) Ed SU(N) -> SO(2N-1)


Scusate. Questa generalizzazione � evidentemente improbabile
dettata da una considerazione piuttosto superficiale. Infatti in
generale non � vero che le matrici (csi x csi+ - csi+ x csi) sebbene
hermitiane
a traccia nulla, diano luogo ad un prodotto scalare mediante forma
simmetrica. Questo come dicevo, discende dall'algebra
anticommutativa a cui obbediscono le matrici di Pauli.
 
La generalizzazione passa appunto per la considerazione
dell'algebra di Clifford. Se uno spazio euclideo 3 dimensionale
ha associato un vettore con due grandezze complesse (z1, z2)
non lo stesso si verifica invece per un generico numeri dispari
di dimensioni allorch� le grandezze spinoriali associate
per 2n+1 dimensioni sono 2^n. Esiste allora effettivamente
un modo di costruire delle matrici di dimensione 2^n che
verificano le propriet� di prima. Ovvero il quadrato sar� la
norma per l'identit� il prodotto simmetrico sar� la semi somma
del prodotto delle matrici associate. (ovvero queste matrici
anticommutano come le matrici di Pauli).

Tuttavia l'azione del gruppo su queste matrici non sar� semplice
come prima, perch� diversamente che nel caso 3 dimensionale
l'azione del gruppo delle rotazioni su queste matrici, che ne
forniscono evidentemente una rappresentazione, non � pi�
irriducibile, ma risulta nella somma di una parte scalare (che
nel caso 3 dimensionale toglievamo togliendo la traccia) una
parte vettoriale, .... fino a grandezze tensoriali di rango N (che
se N = 1 come nel caso 2N+1 = 3 risultano essere appunto i
vettori).

Lasciando da parte questo seguito spero che la parte precedente
fosse comprensibile.



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Received on Tue Aug 07 2007 - 23:38:07 CEST

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